25 SULLE DEFORMAZIONI INFINITESIME DELLE SUPERFICIE FLESSIBILI ED ESTENDIBILI 19 



La (29') mostra intanto che le funzioni a, h, b non sono indipendenti come 

 avviene per le superficie non sviluppabili ; determinando a, b, h in modo da soddi- 

 sfare alla (29'), oppure a,b,r in modo da verificare la (29"), le (29) ci danno per 

 quadrature r o h rispettivamente, ed allora dalle (28) e (28') si hanno per quadra- 

 ture X e u, cioè: 



X = j [a du -f - (h — r) dv] , ju = J [ (/« — r) du -f- b dv\ , 



tralasciando le costanti arbitrarie. Per una superficie piana il problema delle defor- 

 mazioni infinitesime si riconduce a quadrature. 



Vediamo più particolarmente che cosa accade quando la deformazione è uniforme 

 (v. n. 10) per ogni elemento. Dovendosi allora avere per tutti i punti della superficie 

 a — b, h = 0, dalle (5*) si trae 



om dv dv ou v ' 



le funzioni X e u sono dunque coniugate l'una dall'altra, e X + iu è funzione di 

 u-\-iv. Viceversa si ponga X-f-iu eguale ad una funzione qualunque di u -f- iv: 



\ + i}i = f(u + iv); (30') 



da questa seguono le (30), cioè a — b, h = Q. La condizione (30') è dunque necessaria 

 e sufficiente affinchè una membrana piana si deformi uniformemente in ogni sua parte. 



Poniamo che la pura deformazione, alla quale è soggetta la superficie, sia di 

 quelle che si chiamano omogenee , cioè avvenga in modo che a, h, b conservino un 

 valore costante su tutta la superficie. Dalle due prime delle (5*) si ha allora 



\ = au -f- V , |n = b v -f- IT , 



indicando con U e V due funzioni arbitrarie, una della sola u, l'altra della sola v; 

 fra le loro derivate passa la seguente relazione, dovuta all'essere h costante: 



U' + V = costante , 



da cui si deduce 



U' = Cl , V f = Ci , 



essendo c Y e c 2 due costanti. Ne segue: 



U = c x u -j- u , V = c 2 v + X , 



indicando con X e u due nuove costanti; sicché avremo per X e u: 



X — au -f c 2 v -f- X , ju = bv + c L u + Uu , (31) 



vale a dire X e u sono funzioni lineari di u e v : le costanti X , u„ sono i valori che 

 assumono X e u all'origine delle coordinate. 



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