27 SULLE DEFORMAZIONI INFINITESIME DELLE SUPERFICIE FLESSIBILI ED ESTENDIBILI 51 



risulta la proprietà che quando una superficie si deforma in modo che manchi la rota- 

 zione di ogni suo elemento, le sue linee di curvatura sono necessariamente linee di 

 deformazione. 



Quest'ultima proprietà si ritrova, d'altronde, se noi ci poniamo la questione più 

 generale di trovare la condizione affinchè le linee di deformazione coincidano colle linee 

 di curvatura. Confrontando l'equazione (11') delle linee di deformazione coll'equazione 



EDW + (ED" — GD)dudv — GD'dv*= 



delle linee di curvatura, si trova come condizione, affinchè definiscano un unico 

 sistema di linee, 



_ (b — a)VEG 

 D' ~~ ED" — GD ' 



equazione che si può scrivere, per la terza delle (25): 



k 3 = 0. 



Ma allora la terza delle (24') fa vedere che la condizione trovata per a, h, b equivale 

 all'altra relazione fra p,q,r: 



A ( ^) + £ (ì/ e)-J^,. = o, 



equazione che è certo soddisfatta da p = q = r = 0. 



§ 4o. 



Ricerca dell' equazione caratteristica col metodo di Weingarten. 



17. - — L'importanza che ha, nello studio delle deformazioni infinitesime delle 

 superficie, l'equazione caratteristica (27) merita che vi ritorniamo sopra, deducendola 

 con un procedimento che è quello stesso, generalizzato, con cui Weingarten ottenne 

 la medesima equazione per le superficie inestendibili. Riferiamo pertanto la super- 

 ficie a sistema u, v non più ortogonale, ma qualunque, e poniamo 



ÒE = 2a', ÒF = 2h', ÒG = 2b', 



onde la legge con cui la superficie si estende in ogni sua parte risulterà definitiva 

 dai valori che in ogni punto hanno le funzioni a', h' , V ; la sostituzione di queste 

 nuove funzioni alle primitive «, h, b è fatta per maggiore comodità di calcolo. 

 Essendo £, ri, l le componenti dello spostamento di un punto della superficie rispetto 

 agli assi x, y, z, avremo 



ZÒX ÒÌ ; V" 1 dx Ò5 y I 



òu òu ' Z-ó òr d» ' [ 



1 , ì (33) 



Z 



\ è» 9u òu àv 



