29 SULLE DEFORMAZIONI INFINITESIME DELLE SUPERFICIE FLESSIBILI ED ESTENDIBILI 53 



li 



die 



V di 



l* a Yv = 



KH 



Oli OV 



KH 



ove K rappresenta la curvatura totale, ed inoltre si è posto 



Ri = 



1 I C, D 

 KH 2 I d D' 



R 2 = 



1 I C, D' 



KH 2 C, D" 



C x = F,a' — Egi' — (Et — -Fi) h' — + 3 



du 



di 

 òr 



(36) 



(36') 



Le due prime (33), le (34) e le (36) sono sei equazioni lineari in ^ , , 4^* 



-— , 4^- , 4— , e il determinante dei loro coefficienti è — H 2 , per cui è certamente 

 dv ou àv r 



diverso da zero; risolvendole rispetto a quelle sei quantità abbiamo: 



li 

 du 



dU 



)a òcp 



VTv~ u dvì 



KH 



+ èì^t-°t)-W'.f„-«t)i + " R * 



òa ò<p \ 



da ò(p 



*e D '( cp ò 7- a ^)- D "i ,p ò M - a ^/ , 1 < /„d 



KH 



+ ^\ b ru- h 'fJ-A b r,- h 'f,)\+^ 



Queste due equazioni, insieme colle due coppie analoghe relative agli assi y e z, 

 ci forniscono per quadrature 5, n, £ quando sia nota la funzione qp che in esse si deve 

 porre. Se ora deriviamo la prima delle (36) rispetto a v e la seconda rispetto a u, 

 indi le sottragghiamo membro a membro, tenendo conto delle (34) e delle note 

 relazioni 



= 4 i (FD — GD) ~ + (FD — ED') ~ i 



du W < v dv ■ 



^ = -L j (FD"— GD') ^ + (FD'- ED") 4^ I , 



ò« H a < v ' du ' dv ) ' 



(38) 



otteniamo la seguente equazione alla quale necessariamente soddisfa la funzione qp : 



a' h' V 



D "!^_ D '!^ D 1^_ D '^ 

 d du dv d dv ÒM __ MH ÒR,_^ 2+ 1 



dv KH òt> dw H a 



KH 



KH 



dv 



D D' D" 

 E F G 



, (39) 



essendo M la curvatura media della superficie, cioè 



2FD'— ED"— GD 



M 



H 8 



