ERMENEGILDO DANIELE 



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18. — Dimostreremo ora che che ad ogni funzione cp, la quale verifichi la (39), 

 le (37) fanno corrispondere una funzione l, la quale si calcola con una quadratura. 

 Perciò scriviamo la condizione d'integrabilità delle (37), mettendola sotto la forma 



seguente : 



D'^-D'^ + KHR, , D^-D'^-KHR, 



o _ou òv | d_ dv du 



diT ~~ KH ~ ' d» ~ 



KH 



ov | e 



KH 



KH 



' du dv 



- P 



+ T 



ti — — b' — ti — a' — 



d dv du d du 



,d« ~~ I ' d* _ H ~ 



a' dy _ y dy ^y _ a ' _^y 



d òf d« ^_ d d« d« 



e 



d?; 



IT 



+ 



H l on\ oi> ou / o» \ om dv / ou\ dv dui dv\ du avi) 



Supponiamo poi che <p sia un integrale della (39), e osserviamo che a, fi, f soddisfano 

 alla (39) medesima privata del secondo membro; allora si riconosce che l'eguaglianza 

 precedente può assumere la forma 



, , dz , àz 



h -z o y~ 



ov ou 



,d" 



H 



+ 



òv 



,.òz ,òz 



h -r a -.— 



ou ov 



H 



/ h' — — b' — ti — — a — 



|. I _d_ dv du i ò_ òm òp 



^'Vda H dv " H 



J_i a //fydr ^ djM , ^, / dy dy ^ d_0 \ , 



H ( \ dv dv dv dv j \ du ou du du j 



I ii l dy dr dz d|3 . dy òr da dp 1 



\dw dv òw dv dv du dv du 



0, 



dove s'è indicato con [a'D'G] il determinante che figura nel secondo membro della (39). 

 Facendo uso delle (38) si verifica facilmente che il primo termine e l'ultimo danno 

 una somma nulla; quanto ai termini rimanenti abbiamo anzitutto, per le (36'), 



du dv 



od ancora, per le (38), 



t> da p da 



ou dv 



KH 1 



C x D 



, da 



du 



u da 



D 



C 8 D" x- — D' 



da 



dv 



, da 



du 



dv 



d E 

 C 2 F 



dx 

 dv 



dx 

 dv~ 



dx 

 du 



dx 

 du 



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