31 SULLE DEFORMAZIONI INFINITESIME DELLE SUPERFICIE FLESSIBILI ED ESTENDIBILI 55 



D'altra parte si ha, eseguendo le derivazioni ed esprimendo le derivate seconde 

 di y e z linearmente mediante le derivate prime: 



„ ò àu ov | ij dv 01» | I ò ov I o òu dv 



>7 H ' d» H / ' T \di< H ' dv H 



2A' -p, 6' v a n b b' d h'\[òy a bz 



(iT 1— h" 1 IT 1 "ò7< h + d7 h j( T ^~PòTj + 



■ / 2h' v b' v a r , b h' ò a \ I by o^»\ 



' ( w ìì h" ' "dir ~h bv e ivi;, ~ p òtJ • 



tenendo conto poi delle identità (Cfr. Bianchi, Geom. diff., p. 128) 



, bx^ 



r ò« ò«« H v bv 



P 



ò» H d» 



(38') 



l'eguaglianza precedente si scrive 



Pf...) + T(...)=- 



H' 



c, 

 c 2 



E ò - 4- F — 



bv du 



Y A?. q. 



bv du 



e sotto questa forma si vede che il suo secondo membro è eguale e di segno opposto 

 al secondo membro della (41); si conchiude che la (40), ossia la condizione d' inte- 

 grabilità del sistema (37), viene ad essere un'identità ogniqualvolta <p è un integrale 

 della (39). E chiaro poi che una funzione qp, la quale verifichi la (39), rende pure 

 integrabili i due sistemi in n. e Z analoghi al sistema (37). Lo spostamento (£, r\, Z) 

 della superficie, corrispondente ad una particolare funzione caratteristica <p, rimane 

 così determinato a meno di una traslazione arbitraria, e quindi sarà individuato 

 quando si conosca l'effettivo spostamento di un punto qualunque. Si ritrova in questo 

 modo il teorema con cui finisce il n° 13. 



19. — L'equazione (39) è la stessa (27) scritta in coordinate u, v qualunque. 

 E difatti se osserviamo che, facendo F = 0, fra a, h, b, a', h', V passano le relazioni 



a ' = aE, h' = h\/m, b' = bQt, 



si ha 



Cl = -(«-è)^+2/^-!yE+-!VG; 



v ' bv bu bv' 1 o« ' ' 



e quindi, per le (25), 

 analogamente si troverebbe 



C 2 = k 2 l/G; 



