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ERMENEGILDO DANIELE 



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perciò R x e R 2 diventano, confrontando le (36') colle (25'): 



r 1 =q 1 j/w ì r 2 = s 2 j/g: 



Finalmente si ha, per la terza delle (25), 



±[a'V'G) = k 3 . 



Basterà ora fare le sostituzioni nella (39) e osservare che è <p — — r, perchè 

 risulti provato che la (39) si riduce, per F = 0, alla (27). 



Il procedimento che ci condusse all'equazione (39) risolve pure, mediante le (37), 

 il problema di calcolare le componenti dello spostamento di ogni punto rispetto agli 

 assi cartesiani x, y, z, e quindi anche rispetto alle direzioni u, v, w, se si osserva 

 che le E, r\, l sono legate linearmente alle \, jn, v mediante le equazioni (1). L'inte- 

 grazione delle (21) si potrà dunque dire ottenuta una volta che si siano integrate 

 le (37): e con questo rimane provato quanto si era già asserito alla fine del n. 13, 

 che il calcolo delle funzioni X, u, v definite dalle (21) si può ridurre a sole quadrature. 



§ 5°. 



Decomposizione di una deformazione infinitesima 

 d'una superficie estendibile; stadio di una pura estensione particolare. 



20. — Per maggior brevità indicheremo con 0(cp) il primo membro della (39), 

 e con W(a',h',b') il secondo membro; con ciò la (39) si scriverà 



<D(q>) = W {a', ti, b'). (39) 



La linearità della (39) e delle (37) rispetto a <p fa vedere che per ottenere tutte 

 le deformazioni infinitesime di una superficie estendibile basta comporre tutte le sue 

 flessioni infinitesime con una qualunque fra le sue deformazioni che avvengono con 

 estensione ; cosa, del resto, evidente, se si osserva che le equazioni (5), le quali defi- 

 niscono la pura deformazione di un elemento di superficie, si riducono a quelle rela- 

 tive ad una superficie inestendibile, annullando le quantità a, h, b che figurano nei 

 secondi membri. 



Esaminiamo particolarmente il caso in cui a', ti, V , senza essere tutte e tre 

 nulle, siano però tali da verificare la relazione W = 0; allora la funzione <p dipende 

 solo più dalla equazione <t> = 0. Ecco la conseguenza che se ne può trarre. Se qp 

 verifica la O — O, essa rende integrabile il sistema (37), poiché la O=0 è ciò a cui 

 si riduce nel caso presente l'equazione caratteristica. Ma la = è pure l'equazione 

 caratteristica per la superficie stessa supposta inestendibile ; perciò la <p dovrà ancora 

 rendere integrabili le (37) quando vi si tralascino tutti i termini contenenti a\ ti, b'. 

 In altre parole se noi poniamo 



