33 SULLE DEFORMAZIONI INFINITESIME DELLE SUPERFICIE FLESSIBILI ED ESTENDIBILI 57 



f=iS^f:-4:)-^(^:-'l)l+« B - ) 



onde le (37) vengono a scriversi 



^E_d£o_i_òH ^_i?s i (37*") 

 òu dit àu ' òv òv òv ' V 



ogniqualvolta è soddisfatta la W = 0, una funzione cp che renda integrabile il sistema 

 (37) rende pure integrabile il sistema (37')- Ne segue che allora anche il sistema 

 (37") dev'essere integrabile. 



Inversamente, si supponga che il sistema (37") sia integrabile; se cp è un inte- 

 grale della <P = W, sarà integrabile il sistema (37), per cui dovrà pure essere tale 

 il sistema (37'); ma allora cp deve verificare la <P = 0, ed in conseguenza dev'essere 

 W = 0. Si conclude che l'equazione W(a',h',b') = è la condizione di integrabilità 

 del sistema (37"). Questo, d'altronde, si può dimostrare direttamente scrivendo la 

 condizione d'integrabilità delle (37"): come essa si riduca alla W = lo si può 

 vedere con un calcolo che in realtà fu già eseguito, e fa parte di quello che si svolse 

 al n. 18 per dimostrare che la (39) è la condizione d'integrabilità delle (37). 



Dalle (37*), le quali non possono avere un significato se non ha luogo la rela- 

 zione W = 0, e dalle due coppie analoghe si deduce integrando e tralasciando le 

 costanti arbitrarie (che corrisponderebbero ad una traslazione di tutta la superficie): 



2=rE + £, n = no + H. 2 = 2 + Z. 



Quando adunque a', h', b' verificano la W = 0, lo spostamento totale della superficie 

 viene decomposto in due, di cui il primo, che ha per componenti Eo^o^oi è una pura 

 flessione; mentre nell'altro, di componenti E, H,Z, si produce necessariamente esten- 

 sione, quando non si riduce ad una semplice traslazione, poiché per a' = h' = b' = 

 si annullano i secondi membri delle (37"). E poiché in questi secondi membri non 

 figura la funzione cp, lo spostamento (E, H, Z) è unico e determinato corrispondente- 

 mente a un dato sistema di coefficienti a', h', b' della pura deformazione, ossia a una 

 data legge secondo cui la superficie si estende. Noi possiamo chiamarlo una pura 

 estensione, poiché viene a mancare o si riduce ad una traslazione quando si annullino 

 a', h', b' ; si potrebbe anche definire come uno spostamento nel quale è nulla la rota- 

 zione degli elementi superficiali intorno alla normale, senza che sia necessariamente 

 nulla la loro rotazione intorno ad un asse tangente alla superficie. Ed infatti per 

 qp = le (37) si trasformano nelle (37"), la cui condizione d'integrabilità è appunto 

 la W = 0; d'altra parte le (26) mostrano che se la superficie è estendibile, non segue 

 che debba mancare anche la rotazione degli elementi intorno ad un asse tangente 

 alla superficie per effetto dell'annullarsi della rotazione intorno alla normale, come 

 invece seguirebbe nel caso che la superficie fosse inestendibile. 



Per una deformazione decomponibile in pura flessione e pura estensione, cioè nei 

 due spostamenti (37') e (37"), si potrà dire che, note le funzioni caratteristiche relative 

 alle flessioni, le deformazioni più generali della superfìcie si avranno mediante quadrature. 

 Sekik II. Tom. L. u 



(37") 



