35 SULLE DEFORMAZIONI INFINITESIME DELLE SUPERFICIE FLESSIBILI ED ESTENDIBILI 59 



ove si prende il -f- o il — secondo che è K > oppure K < 0, avremo che mentre 

 la superficie data subisce una pura estensione, la sua rappresentazione sferica riceve 

 una deformazione nella quale la funzione caratteristica è 



22. — Supponiamo che una superficie si deformi in modo che si abbia 



dove N è una funzione (infinitesima) di « e v. Nella (39) si annullerà il determinante 

 [a' D' Gr]. Vediamo inoltre a che cosa si riduce la differenza ^ — Le espres- 

 sioni, che al n. 17 furono indicate con C x e C 2 , hanno una forma molto notevole, 

 perchè se vi si legge D, D', D" in luogo di a', h', b', indi si eguagliano a zero, si 

 trovano le due relazioni fondamentali di Codazzi, di cui ebbimo già a far uso al 

 n. 13. Se allora noi sostituiamo, in Cj e C 2 , ad a', h', b' le loro espressioni tratte 

 dalle (42), otteniamo: 



C 1 = D'-^-D-^, C 2 = D" ™ D' 



1 Ou ov ou 



^ ÒN n *N r _ n „ JW n/ ÒN 



e le (36') diventano 



avremo perciò: 



r> _ ÒN 



ÒR, ÒR. 2 _ Q 

 òv òu 



Col supporre a', li', b' proporzionali a D, D', D" è dunque soddisfatta la condizione 

 W(a', h', b') = 0: noi studieremo, in questo numero e nei seguenti, lo spostamento 

 corrispondente di pura estensione. 



Le (37") si possono anche scrivere 



s^iM»£-tg)-4>S-T!5)}+* 



ovvero, facendo uso delle (38'), 



