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ERMENEGILDO DANIELE 



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nel nostro caso queste diventano : 



ò« R ' \ òv 

 oit B.' f \ òv 



F <— ì — D ( F 



dui 



F 



òu 



D F 



òv 



òx 

 òv 



G 



Gr 



òx\\ 

 òu 



òu ÌS 



òu 

 òv ' 



e tenendo presenti le (38) abbiamo ancora 



|^ = -f .(Na), ^ = -ì (No). 



Di qui apparisce direttamente l'integrabilità delle (37") nell'ipotesi attuale. Integrando 

 e scrivendo le equazioni analoghe in H e Z si avrà, trascurando le costanti arbitrarie: 



E = — Na , H = — NP, Z = — Nr. (43) 



La pura estensione corrispondente alle condizioni (42) consiste pertanto in uno 

 spostamento di ciascun punto della superficie lungo la normale; la grandezza dello 

 spostamento è data in ogni punto dal fattore di proporzionalità N. La deformazione 

 si potrà concepire facilmente se si considerano le linee N(w, v) = cost., cioè le linee 

 su ciascuna delle quali i punti si innalzano di segmenti eguali lungo la normale; 

 in particolare la linea N = 0, quando è reale, è il luogo dei punti che nella defor- 

 mazione della superficie non si spostano. 



Poiché una pura estensione richiede, affinchè sia uno spostamento non sempli- 

 cemente traslatorio, che non si annullino ad un tempo a', h', b' , ne viene che una 

 superficie inestendibile non potrà mai deformarsi, in particolare, in modo che ogni 

 suo punto si sposti soltanto lungo la normale (*). 



(*) Questa proprietà si può anche dimostrare altrimenti in modo diretto, e nel medesimo tempo 

 completarla riguardo ad un caso eccezionale. Si consideri una superficie inestendibile, e la si rife- 

 risca ad un sistema u, v ortogonale; le componenti X, u, v dello spostamento di un suo punto rispetto 

 alle direzioni u, v e alla normale tv sono legate dalle relazioni 



ÒX . 1 òVe D 

 òu y/ G òv y'E 



°;»=0 ) (a) 



òv j/g d" VG 



/G^-4-|/E^ -^\-^u + 2D'v-0, 



òu • òv òv òu 1 ' 



che sono poi le (5) nelle quali si è posto a = h = b = 0. Se ora ammettiamo che la superficie subisca 

 una deformazione nella quale non vi sia spostamento dei punti nel piano tangente, dovrà essere 

 X = u = 0, per cui le (a) dànno, nell'ipotesi che sia v =j= : D = D' = D" = : cioè dicono che la 

 superficie è necessariamente piana. Se poi una superficie è piana, si potrà porre D = D'=D'=0, 

 onde le (a) sono soddisfatte da X = |u = 0. Uno spostamento dei punti lungo la normale è dunque incom- 

 patibile coli' inestendibilità della superficie; a meno che la superficie sia piana, nel qual caso lo sposta- 

 mento si riduce ad una traslazione in direzione perpendicolare al piano. 



