37 SULLE DEFORMAZIONI INFINITESIME DELLE SUPERFICIE FLESSIBILI ED ESTENDIBILI 61 



23. — È notevole il fatto che le (42) caratterizzano una deformazione della 

 superficie estendibile nella quale i punti si spostano lungo la normale ; cioè non solo 

 dal loro verificarsi segue che la pura estensione è quella definita dalle equazioni (43), 

 ma viceversa le (42) debbono verificarsi tutte le volte che nella deformazione non 

 vi sia spostamento dei punti nel piano tangente. Difatti si considerino le forinole (16), 

 le quali ci forniscono òE, ÒF, òGr in funzione delle componenti X, u, v dello sposta- 

 mento dei punti della superficie. Ammesso che ogni punto si sposti soltanto lungo 

 la normale, noi dovremo porre, nelle (16), \ = u = 0, e da esse si dedurrà, osser- 

 vando che è ÒE = 2a', ÒF = 2h', ÒG = 26', 



JL — — E. — _ 

 D D' D" V ' 



che sono appunto le (42). Si ritrova, anzi, il significato del fattore di proporzionalità; 

 possiamo dunque enunciare la proposizione: condizione necessaria e sufficiente, affinchè 

 la deformazione di una superficie consista nello spostamento dei punti lungo la normale, 

 è che le variazioni dei coefficienti E, F, G della prima forma fondamentale siano pro- 

 porzionali ai coefficienti D, D', D" della seconda forma; la grandezza dello spostamento 

 ed il suo senso sono dati, in ogni punto della superficie, dal fattore di proporzionalità 

 cambiato di segno. 



24. — L'annullarsi, nelle (42), di uno qualunque dei numeratori trae con se 

 l'annullarsi del rispettivo denominatore; e viceversa. Di qui seguono alcune proprietà 

 importanti. 



a) Supponiamo, in primo luogo, di riferire la superficie alle sue linee di defor- 

 mazione. Le linee u, v sono allora ortogonali, quindi abbiamo h' = h }/EG (cfr. il 

 n. 19); la condizione h — 0, la quale esprime che le linee coordinate coincidono colle 

 linee di deformazione, può adunque essere sostituita dalla h' = 0. Le (42) allora 

 danno D' = 0, da cui segue che nello spostamento (43) le linee di deformazione coin- 

 cidono colle linee di curvatura. Si può, del resto, verificare che la deformazione con- 

 siderata appartiene per l'appunto alla classe di quelle deformazioni nelle quali le 

 linee di curvatura sono le linee di deformazione. Si trovò difatti alla fine del n. 16 

 che queste deformazioni sono quelle per cui le funzioni a, h, b soddisfano alla relazione 



h_ (b — g)»/EG 



D' — ED" — GD ' 



la quale si può scrivere 



]ì_ b'E — a'G 

 D' ED" — GD ' 



ora questa è certo soddisfatta quando a', h' , b' verificano le (42). 



b) Dal fatto che nelle (42) l'annullarsi di a' e b' trae con sè l'annullarsi di D 

 e D", segue che sopra una superficie, la quale si deformi per modo che non vi sia 

 spostamento dei punti nel piano tangente, le linee assintotiche sono quelle le cui lunghezze 

 si mantengono inalterate. La superficie in questione dovrà essere necessariamente a 

 curvatura negativa; in altre parole, se è a curvatura positiva non esistono su di 

 essa linee (reali) che conservino invariate le loro lunghezze. 



