15 SULLE DEFORMAZIONI INFINITESIME DELLE SUPERFICIE FLESSIBILI ED ESTENDIBILI 39 



La deviazione subita da queste direzioni si ottiene facendo uso della (10"), e 

 l'angolo a' trasformato di a è dato da 



^■ = ±fWr>- (17 '> 



Ma se nell'ellisse (9'j consideriamo, come già si fece per l'ellisse (9), i diametri 

 coniugati ed eguali, troviamo che le loro inclinazioni cp sull'asse u, sono date ap- 

 punto da 



dunque " le direzioni, che subiscono le massime deviazioni, si trasformano nei dia- 

 metri coniugati ed eguali dell'ellisse (9') „. Poiché dalle (17) e (17') si ha tgatga' = l, 



ossia a -|- a' = ~ , in luogo dell'ultima proposizione possiamo enunciare quest'altra: 



a 



41 Le direzioni di deviazione massima si trasformano nelle loro simmetriche rispetto 

 alle bissettrici degli angoli degli assi di dilatazione „. 



9. — Lo studio delle direzioni coniugate fu fatto al n. 7 in via soltanto appros- 

 simativa, trascurando cioè nell'equazione (15) le potenze di a, h, b superiori alla 

 prima; per modo che i risultati colà ottenuti non sono precisamente quelli a cui si 

 perverrebbe studiando la trasformazione (6) senza alcun ulteriore riguardo. Si capisce 

 quindi che se si fossero applicati senz'altro i teoremi sulla rappresentazione di una 

 superficie sopra un'altra, che il Dini dimostra nella sua Memoria, si sarebbero tro- 

 vate, per una deformazione infinitesima, delle proprietà le quali non corrispondereb- 

 bero al concetto che di una tale deformazione noi ci facciamo. Non sarà inutile 

 mettere brevemente a raffronto i risultati da noi dedotti con quelli che derivereb- 

 bero dalla sostituzione (6) applicata senza tener conto di alcuna approssimazione; 

 tanto più che questi risultati sono per sè stessi interessanti. 



L'equazione che definisce due direzioni coniugate non sarà più, adunque, la (16), 

 ma la (15); prendendo come assi di riferimento gli assi di dilatazione, la (15) si scrive 



tgatgP=-[±^, (15') 



e si hanno gli elementi coniugati ed ortogonali dall'equazione 



(2 + a 1 4-6 l )tgo = 0, 



ossia tga = 0, non potendo essere nullo 2 + a t ~f-èi perchè a ( e bi sono infinitesimi. 

 Pertanto le direzioni coniugate ed ortogonali coincidono ancora cogli assi di dilata- 

 zione. Moltiplicando membro a membro la (15') colla (10"), che è l'equazione della 

 proiettività che intercede fra una direzione a e la sua trasformata a' dopo la defor- 

 mazione, si ottiene 



tga'tgP = l, 



