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EBMENEOILD0 DANIELE 



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Considerando in ogni punto della superficie le due direzioni definite da questa equa- 

 zione, esse vengono ad inviluppare due famiglie ortogonali di linee, le quali ammet- 

 tono per equazione differenziale la (16'). Possiamo dunque dire che, " scelta sulla 

 superficie una famiglia di linee ad arbitrio, è sempre possibile associarne ad essa 

 un'altra, per modo che i loro angoli non mutino nella deformazione; eccettuato il 

 caso in cui la famiglia scelta sia una delle due definite dall'equazione (16') „ (*). 



Riferendoci agli assi di dilatazione, lo inclinazioni corrispondenti alle bissettrici 

 dei loro angoli sono date da tgct = ±l; perciò nella deformazione dell'elemento 

 questi angoli a si trasformano in altri a' dati da 



S'imagini ora un'ellisse nel piano tangente alla superficie in M, i cui assi coincidano 



■ • • • • • • OC^ 



cogli assi di dilatazione, e la sua equazione sia — ^ -j- ^ = 1 ; essa ammette una 

 coppia di diametri coniugati ed eguali in lunghezza (simmetrici rispetto agli assi), e 

 gli angoli che essi fanno coll'asse u sono dati da tg = dr -7- • Se l'ellisse ora con- 



A 



siderata è la (9), la formola precedente dà 



e dal confronto colla (16") si trae che " le bissettrici degli angoli formati dagli assi 

 di dilatazione ossia le direzioni, i cui angoli con qualunque altra variano nella defor- 

 mazione, si trasformano nei diametri coniugati ed eguali dell'ellisse (9) „. 



8. - - Gli assi di dilatazione non subiscono alcuna deviazione nel deformarsi 

 dell'elemento; per ragione di continuità vi dovranno dunque essere delle direzioni a 

 cui corrisponde un massimo di deviazione dalla posizione primitiva. Per trovare questi 

 massimi diciamo a e a' le inclinazioni, sull'asse di dilatazione u x , di un medesimo 

 raggio passante per M, prima e dopo la deformazione; abbiamo allora per l'angolo 

 delle direzioni a e a': 



t P (a' — ai — tga ' ~ tga — {hl ~ glìtga 

 LSl " ' 1 + tga tga i+ ai + (i+ fcl )tg'a' 



Derivando rispetto ad a ed eguagliando a zero, troviamo che i massimi di a' — a cor- 

 rispondono ai valori di a definiti dalla relazione 



tg'° = TTT (17) 



Le direzioni, adunque, che subiscono la massima deviazione sono due, simmetriche 

 rispetto agli assi di dilatazione. 



(*) Questa proposizione vale, più in generale, per ogni rappresentazione di una superficie su di 

 un'altra (Cfr. Dm, Mena. cit.). 



