13 SULLE DEFORMAZIONI INFINITESIME DELLE SUPERFICIE FLESSIBILI ED ESTENDIBILI 37 



nazioni, se ne trova una sola formata di direzioni a due a due ortogonali. Vediamo 

 a quali risultati conduca la questione analoga posta per un elemento piano di su- 

 perficie. 



Siano a, P gli angoli che due direzioni arbitrarie dell'elemento formano col- 

 Tasse u (supposti gli assi u, v qualunque perchè ortogonali). Dopo la deformazione 

 gli angoli a, 8 si saranno trasformati in altri due a', p' che si ottengono dai prece- 

 denti mediante la (10); onde l'angolo formato dalle direzioni a e p, cioè (3 — a, si 

 sarà mutato nell'angolo P' — a', per il quale si ha 



WR' a'\= teP'-te"' = ) (I-fa) (! + &)-*'( (tgp-tga) 



LglP ; 1 + tga'tgP' *^2-fo^-*)(tga + tg^)-^-jA > - T -(l-f-fcj , jtgotg^-|-A i -r■(l + a) ,, 



Supponendo ora che l'angolo delle due direzioni non sia cambiato, cioè che si abbia 

 P' — a' = p — a, sarà pure tg(p' — a') = tg(P — a), e quindi per la formola prece- 

 dente avremo, riducendo a forma intera: 



) 2 ^ + (l + 5)(è-«)(tgatgP + M2-f-«+^(tga+tgP)4-2/ i 2 +(l+«)(«-6)=0. (15) 



Se ora nei coefficienti trascuriamo gli infinitesimi di ordine superiore al primo, que- 

 st'equazione si scrive 



(b - a)tgatgP + 2A(tga f tgp) + a - b = 0; (16) 



essa mostra che ad ogni direzione uscente dal centro M dell'elemento ne corrisponde 

 un'altra, il cui angolo colla prima non varia nella deformazione: la corrispondenza 

 fra le direzioni a e P è, come dice la (16), un'involuzione, e noi chiameremo coniugate 

 nella deformazione due direzioni che siano coniugate nell'involuzione (16). 



Se ci riferiamo agli assi di dilatazione la (16) diventa, dovendosi porre h = 0, 



tgatgp = 1 , 



cioè a -f- P = — , e l'involuzione (16) si riduce alla simmetria rispetto alle bissettrici 



a 



degli angoli formati dagli assi di dilatazione. Quelle bissettrici rappresentano dunque 

 gli elementi doppi dell'involuzione, e perciò sarà impossibile accoppiare ad una di 

 esse un'altra direzione colla quale conservi l'inclinazione nella deformazione (*). La 

 loro equazione complessiva in coordinate ortogonali qualunque si ottiene ponendo 

 a = p nella (16), col che si ottiene 



(b — a)tg 2 a + 4/itga -f a — b = 0; 



indicando poi con du e dv gli accrescimenti di « e « nella direzione a, si ha 

 tga = j/ ~ , per cui l'equazione precedente viene ad assumere la forma 



(a — b) E du 2 + ih \/mdudv — (è— b)Gdv 2 = 0. (16') 



(*) Quando la deformazione dell'elemento avviene in modo che non si alteri la sua area, cioè 

 colla condizione a -f- b = 0, le direzioni ora definite coincidono con quelle lungo le quali è nulla la 

 dilatazione lineare (v. il n. 5). 



