36 



ERMENEGILDO DANIELE 



12 



6. — Dopo aver studiato la variazione che si produce nella lunghezza di un 

 segmento per effetto della pura deformazione, vediamo come si alteri il valore di 

 un'area contenuta nell'elemento di superficie. Riferendoci agli assi di dilatazione u u 

 t>, , si consideri un rettangolo di cui due lati MA, MB appartengano agli assi u x , v y 

 rispettivamente; se P è il quarto vertice, e sono k, rn l le sue coordinate, l'area del 

 rettangolo MAPB è data da <s = l x m v . Dopo la deformazione il rettangolo MAPB si 

 sarà trasformato in un nuovo rettangolo MA'P'B', e poiché le coordinate di P' sono, 

 per le (6'), 



l'area a si sarà mutata nell'area 



o-' = l\m\ = km^l + a,) (1 + è,) ; 

 ovvero, trascurando gli infinitesimi di ordine superiore al terzo, 



o' = l,m x (l +a, + b x ). 

 Chiamando allora S la dilatazione superficiale riferita all'unità di area, avremo 



S = = <*! + b l , 



che è una quantità costante per ciascun elemento, e si può calcolare, in virtù della 

 (14), sommando le dilatazioni lineari relative a due direzioni ortogonali arbitrarie. 



La condizione, affinchè nella deformazione l'elemento conservi la sua area, è 

 pertanto a x 4-ò 1 = 0; condizione che può essere sostituita, per la (14), dalla a-\~b=0, 

 quando l'elemento sia riferito ad un sistema ortogonale diverso da quello formato 

 dagli assi di dilatazione. Nel caso che la deformazione avvenga ad area costante, si 

 può indicare una costruzione pel punto P' trasformato di P nella deformazione, più 

 semplice di quella data al n° 2 pel caso generale, ove occorre fare uso, oltre che 

 dell'ellisse (9), anche dell'ellisse (9'). Le (6') diventano difatti, per a l ~\-b ì = 0, 



B„, = a i l l , B Bl = — a^riy , 



donde segue 



B„, : B Vl = h : — niy ; 



ora l v e — m l sono le coordinate del punto Q simmetrico di P rispetto all'asse ù[: 

 costruito il punto Q, lo spostamento di P sarà allora parallelo alla direzione MQ, 

 onde il punto P' sarà l'intersezione dell'ellisse (9) colla parallela condotta da P a MQ. 

 La (12'), che definisce le direzioni lungo le quali è nulla la dilatazione lineare, 



dà ora tga=±l, cioè a — ±™. Nella deformazione ad area costante quelle dire- 

 zioni coincidono dunque colle bissettrici degli angoli formati dagli assi di dilatazione. 



7. — Nella pura deformazione di una particella a tre dimensioni è noto che, 

 facendo la ricerca delle terne di direzioni le quali conservano le loro mutue indi- 



