11 SULLE DEFORMAZIONI INFINITESIME DELLE SUPERFICIE FLESSIBILI ED ESTENDIBILI 35 



Se poi ogni raggio uscente dal centro M dell'elemento mantiene inalterata la 

 sua lunghezza, dalle (12) si trae a x = b x — 0, il che significa, per le (6'), che manca 

 la pura deformazione. Dovranno perciò essere nulli a, Tu, b quando si passi ad un altro 

 sistema ortogonale qualunque, e difatti per a x = b x — le (8) danno, coll'osservare 

 che ad a, h, b non spettano valori imaginari, a = h = b = 0. Se ciò avviene per 

 ogni punto della superficie, cioè se la superficie ha tutte le sue linee inestendibili, 

 ne deriva che nella deformazione ogni suo elemento si mantiene rigido. Questa pro- 

 prietà delle superficie flessibili ed inestendibili permette di considerarle come casi 

 limiti di superficie poliedriche deformabili colle faccie rigide. 



Supponendo che l'elemento di superficie sia riferito agli assi di dilatazione u x , v if 

 si assumano come nuovi assi coordinati u, v due direzioni ortogonali qualunque. 

 Essendo 9 l'angolo che u x forma con u, fra le nuove coordinate l, m di un punto 

 dell'elemento e le antiche l x , m x passano le relazioni 



Zj = ZcosG — msen0, m x =■ IsenQ -j- cosQ. 



Perciò la forma quadratica, considerata al § 1°, 



2fi(h, m x ) = a x P x + b x m\ 



si trasformerà nell'altra 



2 /"(/,?>?) = (ajCos 2 9 -f b x sen 2 e)l 2 + (b x — a 1 )sen26 .lm-\- (^sen^ + b x cos 2 9)w 2 , 

 la quale deve coincidere Còl primo membro della (7) ; dovrà quindi aversi 

 a — a x cos 2 9 -j- b x sen 2 , b — a L sen 2 9 -f- è!Cos 2 9, ) 



(13) 



2h = (b i — a L )sen2Q. } 



Di queste relazioni le prime due, confrontate colla (12), dicono che i coefficienti a 

 e b non sono altro che i valori di L corrispondenti alle direzioni coordinate. Nella 

 terza poi si può sostituire ad a x e b x i loro valori in funzione di a e b estratti dalle 

 due prime, e allora si ottiene 



2h = {b — a)tg26, 



la quale non è che una nuova forma della (ll')> come si riconosce osservando che 

 si ha tg9 = ]/ un significato preciso di h sarà visto in seguito. 

 Le due prime delle (13) sommate dànno 



a + b = a x + b,, (14) 



cioè : " Le dilatazioni lineari corrispondenti a due direzioni ortogonali qualunque del- 

 l'elemento dànno una somma costante, eguale alla somma delle due dilatazioni prin- 

 cipali „. 



