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ERMENEGILDO DANIELE 



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rendoci agli assi di dilatazione, diciamo a l'inclinazione della direzione MP sulla 

 linea u, e poniamo MP = p, MP' = p', essendo P' il trasformato di P; si ha 



p=|/p + w », p' = j/(T + atfl* + (1 + b x fm\ 



e se noi trascuriamo in p' gli infinitesimi di ordine più alto, abbiamo 



p' : |/F~+™ 2 + 2 (a x I 2 + b x w 2 ). 



L'allungamento che subisce p, riferito all'unità di lunghezza, viene dato da 



L = ^ = 1/1 + 2^4^^- 1 , 

 p r 1 m 



e tenendo conto, nel radicale, soltanto degli infinitesimi del primo ordine, otteniamo 



j aii* -f- 



ossia 



L = a 1 cos 2 a -f ^sen 2 ^ (12) 



Chiameremo L la dilatazione lineare nella direzione a. Per le direzioni degli assi di 

 dilatazione L è eguale ad a x e b x , cosa che già sapevamo dalle (6') : a x e b x si pos- 

 sono chiamare le dilatazioni principali, e rappresentano i massimi valori di L. L'el- 

 lisse costruita nel piano tangente alla superficie in M, i cui assi hanno le direzioni 



degli assi di dilatazione relativi al punto M, e le cui lunghezze sono — e ha 



V«i VA 



ogni suo diametro eguale in lunghezza al valore di -j=. che spetta alla sua direzione. 



ì/L 



I raggi uscenti da M, per cui la dilatazione lineare è nulla, corrispondono alle 

 direzioni definite dall'equazione 



«iCos 2 a -j- èxse^a = 0, (12') 



cioè 



t ga = ±j/3|T, 



e sono reali imaginari secondochè a x e b x sono di segno opposto ovvero hanno lo 

 stesso segno; quando realmente esistono, sono simmetrici rispetto agli assi di dila- 

 tazione (*). Più generalmente l'equazione 



«jcos-'a -)- ^sen 2 !* == costante 



definisce in ogni punto della superficie due direzioni, simmetriche rispetto agli assi 

 di dilatazione, alle quali corrisponde uno stesso valore per la dilatazione lineare. 



(*) Se ne deduce che in ogni deformazione infinitesima di una rete, cioè di una superficie sulla 

 quale esistano due famiglie di linee inestendibili (fili), le linee di deformazione si possono ritenere 

 senz'altro note, e sono quelle che in ogni loro punto Dissecano gli angoli formati ivi dai fili. 



