9 SULLE DEFORMAZIONI INFINITESIME DELLE SUPERFICIE FLESSIBILI ED ESTENDIBILI 33 



Se l'elemento di superficie è riferito agli assi di dilatazione uscenti da M, nelle 

 ultime formolo scritte si annulla h; la (10) in particolare diventa 



tg«' = i^tg& (10") 



14-o 



Di qui si ricava che, secondochè si ha ' 5 1, si ha pure, in valore assoluto, 



1 -j- 0) 



tga g tga'; questo significa che un raggio qualunque passante per M devia sempre 

 verso quello degli assi di dilatazione che ha la direzione dell'asse maggiore del- 

 l'ellisse (9). 



In ogni punto della superficie che si deforma s'immaginino gli assi di dilata- 

 zione ; questi inviluppano un sistema doppio ortogonale di linee, le cui direzioni sono 

 definite in ogni punto dalla (11'): ha chiameremo linee di deformazione, e la (11') ne 

 è l'equazione differenziale. Quando dunque una superficie si deforma, qualunque sia 

 la legge della deformazione, esistono su di essa due famiglie ortogonali di linee che 

 si mantengono ortogonali. Nella Memoria del Dini, di cui s'è parlato addietro, si 

 dimostra un teorema enunciato dal Tissot fin dal 1859 nei " Comptes rendus „, 

 secondo il quale in ogni rappresentazione analitica di una superficie su di un'altra 

 vi ha un doppio sistema ortogonale di linee che si conserva ortogonale: come si 

 vede, la proprietà che ha luogo per una deformazione infinitesima d'una superficie 

 rientra in quella enunciata dal Tissot. 



4. — La conoscenza delle linee di deformazione fa sì che, conoscendo la devia- 

 zione, rispetto ad esse, di un sistema di linee tracciate sulla superficie, si possa 

 determinare immediatamente la deviazione di ogni altro sistema; ciò è evidente se 

 si pensa alla relazione di proiettività che intercede fra le direzioni tangenti alla 

 superficie in un suo punto e le loro trasformate dopo la deformazione; proiettività 

 nella quale le tangenti alle linee di deformazione, cioè gli assi di dilatazione, sono 

 gli elementi uniti. Inversamente è chiaro che basterebbe sapere come deviano in ogni 

 punto tre direzioni, per poter determinare le linee di deformazione; però il fatto, 

 che nella proiettività considerata gli elementi uniti sono ortogonali, permette di ri- 

 durre a due il numero delle direzioni di cui è necessario conoscere le deviazioni. E 

 difatti se indichiamo con a, (ì due direzioni tangenti alla superficie in un suo punto 

 M, e con a', P' le loro trasformate nella deformazione, ossia nella proiettività (10'), 

 e se diciamo e, cp le direzioni degli assi di dilatazione, per essere il gruppo (eqpap) 

 proiettivo a (e epa' (3') segue che le direzioni e, cp sono coniugate nell'involuzione indi- 

 viduata dalle coppie (a 3') e (a' (}); d'altronde e, cp sono direzioni coniugate nell'in- 

 voluzione circolare di centro M e avente per sostegno il piano tangente in M alla 

 superficie. Note adunque le direzioni a, 3, a', 3', le e, cp si potranno determinare (vo- 

 lendo, anche graficamente, coi noti metodi della Geometria proiettiva) come gli ele- 

 menti della coppia comune a due involuzioni perfettamente individuate. 



5. — Vogliam vedere quale alterazione subisca nella sua lunghezza un segmento 

 compreso fra il centro M dell'elemento e un altro punto P dell'elemento stesso. Rife- 

 Seeie II. Tom. L. e 



