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ERMENEGILDO DANIELE 



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luzione dei diametri coniugati dell'ellisse (9'); le direzioni MP e MP' si corrispondono 

 perciò in una proiettività, la quale ammette per raggi uniti gli assi dell'ellisse (9), 

 cioè gli assi di dilatazione. 



La medesima proiettività possiamo ottenerla direttamente in questo modo. 

 Essendo le linee u, v ortogonali, ma del resto qualunque, chiamando a e a' le incli- 

 nazioni delle direzioni MP e MP' sulla direzione w, e indicando con l, m le coordi- 

 nate di P, e con /', mi quelle di P', abbiamo 



e per le (6): 



W — ** + (l + ft)w __ * + (l + 6)tga 

 & (l + a)Z + 7im 1+a + Atga 



(10) 



Tra a e a' passa dunque la relazione 



(1 -f-i)tga — Atgatga' — (1 -f «) tga' + A = , (10') 



che è appunto 1' equazione di una proiettività , nella quale alla direzione MP corri- 

 sponde la MP'. 



3. — Gli elementi uniti di questa proiettività si ottengono ponendo a' = a 

 nella (10'); essi son dunque dati dall'equazione 



fttg 2 a + (a — è) tga — h = 0. (11) 



Sappiamo già che sono reali e ortogonali; ciò risulta anche dall'ultima equazione: 

 difatti il suo discriminante è 



(b-af + ih* > 0, 



ed inoltre il prodotto delle sue radici vale — 1. Dalla (11) si vede pure che la con- 

 dizione, affinchè le linee u, v siano nel punto M tangenti agli assi di dilatazione, è 

 che si abbia h = 0. 



Ricordando le (3) e rappresentando con bu e bv gli incrementi di « e » nella 

 direzione MP', la (10') si può anche scrivere, dopo averla moltiplicata per JZdubw, 



hEdu bu -f |/EG ) (1 + b)dv bu — (1 -f a) du bv[ — hQdvbv = Q, 



e la (11), che fornisce gli assi di dilatazione, diventa 



h (E du* — Gdv 2 ) + (& — <*) {/Mdudv = 0. (11') 



Del resto se si considera la conica (7), che ci servi per definire la prima volta 

 gli assi di dilatazione, si ha come equazione complessiva dei suoi assi 



h(P — m 2 ) + (b — a)lm = 0, 

 la quale per le (3) coincide colla (11'). 



