7 SULLE DEFORMAZIONI INFINITESIME DELLE SUPERFICIE FLESSIBILI ED ESTENDIBILI 31 



1 ÒM. 



1 òX 



1 ÒX 1 ,1 

 "7=- -3 n4--v = «, 



P, r Pu 



1 ÒM 1 * 1 7 



|/q 0» p„ R» 



o« 1 p« Po 



Tu 



§ 2". 



Studio della pura deformazione di un elemento superficiale. 



2. — In ogni elemento di superficie chiameremo assi di dilatazione gli assi del- 

 l'ellisse (7), cioè le direzioni secondo le quali 1' elemento si dilata o si contrae. A 

 queste medesime direzioni si perviene considerando il modo di deformarsi dei cerchi 

 appartenenti all'elemento ed aventi il centro nel suo centro M. Se diciamo p il raggio 

 di uno qualunque di tali cerchi, e ci riferiamo agli assi di dilatazione, le (6') mostrano 

 che essi si deformano nelle ellissi concentriche ed emotetiche 



a -h «,r + ~a+W~ = p2 ' (9) 



i cui assi coincidono appunto, in direzione, cogli assi di dilatazione. 

 L'ellisse (9), insieme colla conica 



che è pure un'ellisse, concentrica e coassiale colla (9), ci permettono di determinare, 

 con una costruzione geometrica, il punto P' nel quale si trasforma, nella deforma- 

 zione, un punto arbitrario P dell'elemento. Posto MP == p, il punto P' apparterrà 

 all'ellisse (9); descritte allora le ellissi (9) e (9'), si chiami P" il punto in cui il 

 raggio MP' incontra la (9'): la tangente a (9') in P" è perpendicolare a MP (*). In 

 base a questa proprietà basterà, per avere P', costruire la tangente di (9') che è 

 perpendicolare al raggio MP, e congiungere il punto di contatto con M: la congiun- 

 gente incontra l'ellisse (9) in P'. Oppure, se si osserva che la direzione della tan- 

 gente a (9') in P" è coniugata, rispetto a (9'), alla direzione del raggio MP', si potrà 

 sostituire alla costruzione precedente quest'altra: Si costruisca nell'ellisse (9') il dia- 

 metro perpendicolare a MP, e se ne cerchi il coniugato rispetto alla medesima 

 ellisse (9'); quest'ultimo incontrerà l'ellisse (9) nel punto P' corrispondente a P nella 

 deformazione. Risulta di qui che la direzione MP' è la trasformata di MP mediante 

 il prodotto di due involuzioni, che sono l'involuzione circolare di centro M e l'invo- 



(*) La dimostrazione è assai facile; d'altronde è identica a quella che per una particella atre 

 dimensioni dà il Voigt (Elementare Mekanik, § 26). 



