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39G RICERCHE SULLE OMOGRAFIE E SULLE CORRELAZIONI IN (iENERALE ECC. 



quelle particolari oinografie del piano e dello spazio ordinario che mutano in sè risp. 

 una conica ed una quadrica fisse , omografie incontrate dal sig. Klein {*) e dal 

 sig. Lindemann come movimenti in una metrica generale del piano o dello 



spazio (**'^'). Per w=5 , supponendo che la quadrica a 4 dimensioni che si considera 

 sia la quadrica di rette, le omografie che Li mutano in se stessa coincidono colh^ 

 omografie e correlazioni dello spazio ordinario, le quali si possono in tal modo studiare 

 e classificare dal punto di vista della geometria della retta. Per « = 4 si ottengono 

 le omografie e le correlazioni dello spazio ordinario che mutano in se stesso un com- 

 plesso lineare non speciale (od anche, dando un altro significato agli elementi dello 

 spazio a 4 dimensioni clie si viene a considerare , le trasformazioni dello spazio or- 

 dinario appai'tenenti al gruppo delle inversioni). 



Uno studio sulle omografie in uno spazio lineare qualunque da me pubblicato 

 'tempo fa i^****) mi servì di l)ase per fare le ricerche geometiiche ora accennate. 

 Nel presente lavoro comincio dallo studiare (§ 1) quelle particolari omografie di 

 uno spazio lineare ad n dimensioni, le quali trasformano in se stessa ulia data qua- 

 drica ad n — 1 dimensioni, dandone le proprietà caratteristiche, che possono servire 

 a classificarle, distinguendole nel caso di n dispari in due specie di proprietà molto 

 diverse , e mostrando come esse equivalgano , se si considerano come trasformazioni 

 della quadrica in se stessa, ad un certo numero di proiezioni successive della quadrica 

 su se stessa. — Supposto poi — 5 e che la quadrica trasformata in se stessa sia 

 la quadrica delle rette dello spazio ordinario , considero anzitutto il caso in cui la 

 trasformazione è di P specie, cioè si riduce ad un'omografia dello spazio ordinario, 

 e poi il caso in cui essa è di 2' specie, cioè si riduce ad una correlazione. Nel 1° caso 

 ottengo (§ 2) , accanto alla classificazione delle omografie dello spazio ordinario da 

 me fatta nello studio citato, una nuova classificazione dal punto di vista della geo- 

 metria della retta, la quale fornisce vari risultati che mi paiono notevoli. Una ricerca 

 su argomento affine a questo era già stata fatta dal sig. Voss il quale si era 



occupato di studiare e classificare il sistema di due quadriclie dello spazio ordinario 

 dal punto di vista della geometria della retta ; anzi si può dire che in sostanza lo scopo 

 delle due ricerche è identico, poiché lo studio del sistema di due quadriche coincide, 

 com'io mostrai, collo studio dell'omografia determinata dalla composizione delle polarità 

 rispetto a quelle. Però la diversità del mio metodo da quello seguito dal sig. Voss. 

 la mancanza nel lavoro di (juesto di ragionamenti sintetici per illustrare i risultati 

 trovati analiticamente, ed il fatto che, non conoscendo ancora quello scienziato il teo- 

 rema che il sig. Frobenius pubblicò un anno dopo e che già citai , egli introdusse 



(*) Vaber die sogenannte niclu - EuhUdiache Geometrv;. Matliematische Annaleu, IV e VL 

 (**) Math. Ann., VII. 



(•*•) Più leeenlernente le omografie dello spazio ordinano che mutano in sè una quadrica fissa 

 furono pure studiate sinteticamente dal sig. Zeuthen nella sua Tlicorie des Jìgures projeclices sur uve 

 surface du second ordre (Malli. Ann., XVllI, p. 33-68}. 



Sulla teoria e sulla classificazione dtlle omografie in uno spazio lineare ad un numero qua- 

 lunque di dimensioni. Memorie della K. Accademia dei Lincei , serie 3= , voi. XIX. — \i\>v innanzi 

 questa Memoria verrà citata brevemente col nomo di « Omografie ». 



(**"**) Die Liniengeometrie in iìirer Anvcendung auf die Flàchen sweiten Grades. Matli. Ann., X, 

 pag. 143. 



