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RICERCHE SULLE OMOCRAFIE E SULLE CORRELAZIONI IN GENERALE ECC. 



Essa è allora caratterizzata completamente nelle sue proprietà proiettive dal deter- 

 minante 



(2) i p<'u. + qK I 



e dai suoi divisori elementari [Omografie, n" 11). Ora se quell'omografia (1) trasforma 

 in se stessa una qnadrica non degenere 



(•>) f—^Ct,„XiX„ = , 



Im 



quel determinante caratteristico avrà certe particolari proprietà date dal seguente 

 teorema del sig. Fkobenius (*) : 



Affinchè V omografici (1) trasformi in se stessa una qnadrica non degenere è 

 necessario e sufficiente che i divisori elementari del determinante (2) siano a coppie 

 di ugual grado e annullantisi per valori reciproci di p ! q , eccetto quelli di grado 

 impari che si annullassero per p: q~±l (**). 



Quest'importante proposizione, che comprende tutta la classificazione delle omo- 

 grafie atte a trasformare quadriche generali in se stesse si può interpretare geometri- 

 camente {***). In fatti ad ogni radice p '. q del determinante (2) corrispondono uno spazio 

 [fon da 'Mentale) di punti uniti ed uno spazio [fondamentale) di Xìiani [S„_,) uniti dei- 

 Tomografia; ogni raggio [S,) congiungente due punti corrispondenti incontra i sostegni dei 

 vari spazi fondamentali di piani in punti che con quei due formano un gruppo, il quale 

 rimane sempre proiettivo a se stesso variando quei due punti corrispondenti in *S'„ ed 

 è pure proiettivo al gruppo formato dalle radici del determinante coi due numeri 

 e oo , ed al gruppo di piani di un fascio formato nel modo corrispondente per 

 dualità ma scarahiando i due spazi omografici [Omografie , n" 12). Ora quel teorema 

 ci mostra che gli spazi fondamentali di punti (e di piani), all'infuori di quelli corrispon- 

 denti alle radici +1 e — 1 quando esistano , si corrispondono a coppie di spazi dotati 

 delle identiche pioprietà rispetto all'omografia per modo che sul raggio congiungente 



(*) Memoria citata, p. 41 . Il mio enunciato è però uq po' più generale di quello contenuto nella 

 <3etta Memoria. — Avverto pure che io suppongo, qui e in seguito, che le cr^. o le b^/^ si siano già 

 moltiplicate per un fattore tale che non solo la quadrica si trasformi in se stessa, come ente 

 geometrico, in forza delle (I), ma che da queste segua precisamente 2 Cj^XiX^^ = ^ ìrnViHm ■ Questa 

 supposizione, senza diminuire sostanzialmente la generalità, ha il vantaggio di abbreviare gli enunciati. 



(**) Come nota il signor Frobenius, basta cambiare alla fine di quest'enunciato la parola impari 

 in pari perchè esso dia invece, nel caso di n impari, le proprietà caratteristiche di un'omografìa che 

 trasforma in se stessa, non più una quadrica, ma una forma bilineare alternata di determinante non 

 evanescente, cioè un sistema nullo {NuUsi/slem} di S„ . Da questa nuova proposizione seguirà in par- 

 ticolare la classificazione di quelle omografìe dello spazio oi'dinario che mutano in se stesso un 

 comjdesso lineare non speciale (V. n" 17j. — Citerò ancora, come altro esempio di risultati geometrici 

 contenuti implicitamente nella Memoria del signor Frobenius, il seguente teorema che vi si trova 

 (p. 10) sotto altra forma: « Affinchè un'omografìa sia ciclica, cioè ripetuta un numero conveniente di 

 volte si riduca alla identità, occorre e basta che i divisori elementari del suo determinante caratteristico 

 siano tutti lineari e s'annullino solo per radici dell'unità ». 



(**•) 11 sig. Voss nel suo lavoro citato sullo sostituzioni ortogonali, che era già scritto quando 

 comparve la Memoi ia del sig. Frobenius, stabilisce pure pag. 327, quella proposizione ma solo nella parte 

 che riguarda i valori dì p : q diversi da ± 1, e quindi ottiene condizioni necessarie ma non sufficienti 

 perchè un'omografìa trasformi in se stessa una quadrica (Non è fuor di luogo notare che alla dimo- 

 strazione da lui data si potrebbe sostituirne una assai piìi semplice basata sulla stessa identità che gli 

 serve a pag. 33"2 per stabilire che il determinante caratteristico ha le radici reciproche). 



