DEL DOTT. COKKADO SEGRE 



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due punti corrispondenti questa coppia di punti e le coppie dei punti d'iiiterso/ione coi 

 sostegni degli spazi fondamentali cornsponileuti di piani sono coppie di un'involuzione. 



2. A questo e ad altri risultati geometrici si giunge anche direttamente ricor- 

 dando che ogni omografia è correlativa alla sua inversa , cioè a quella che se ne 

 ottiene scambiando i due spazi sovrapposti {Oniofjr/tfie , n" 1 2) , e notando d'altra 

 parte che ele.iienti corrispondenti noiromografia avranno nel nostro caso per polari 

 rispetto ad /" (*) elementi corrispondenti nell'omografia stessa, sicché questa è pure 

 correlativa (polare rispetto ad /') di se stessa {**). Ne segue in fatti che Tomografia 

 sarà proiettiva alla sua inversa e che in questa proiettività saranno corrispondenti, e 

 quindi godranno delle identiche proprietà rispetto alTomografia considerata ed alla sua 

 inversa, due spazi fondamentali di punti (o di piani) di cui l'uno abbia per corrispondente 

 spazio fondamentale di piani (o di punti) lo spazio polare dell'altro rispetto ad /' . 

 Da ciò nasce tosto l'involuzione considerata, e, come questa ha due elementi doppi, 

 si vede che può solo accadere per uno o due spazi fondamentali di punti (o di piani) 

 di coincidere con quelli che loro corrispondono nel modo detto (Essi provengono allora 

 dalle radici ± 1 del determinante caratteristico). Ma in questo modo si vede pure , 

 ricordando che ogni spazio fondamentale di })unti di un'omografia sta su tutti i so- 

 stegni di spazi fondamentali di piani non corrispondenti ad esso, che nel nostro caso 

 gli spazi fondamentali stanno nella seguente relazione colla quadrica /' ; 



Tutti gli spazi fondamentali di punti non corrispondenti a radici ± 1 stanno 

 sulla quadrica f ed hanno per spazi tangenti i sostegni degli spazi fondamentali 

 di piani corrispondenti alle radici reciproche; inoltre due spazi fondamentali di 

 punti qualunque [anche se corrispondenti a ±1), purché non corrispondenti a radici 

 reciproche, sono sempre coniugati rispetto ad f (***). 



3. Nei n' precedenti abbiamo incontrato dei gruppi di elementi Ì!i involuzione : 

 cerchiamo ora il significato delle varie coppie di tali involuzioni. Consideriamo a tal 

 fine l'omografia in cui si corrispondono i due punti 



essendo x , y due punti corrispondenti variabili dell'omografia data (1) e o\ p" due 

 parametri fissi. 



(*) "V. per la teoria generale delle quadriche, qui e nel seguito, la mia Memoria: Studio sulle 

 quadriche in uno spazio lineare ad un numero qualunque di dimensioni (Memorie di quest'Accademia, 

 voi. XXXVl). 



In generale si dimostra facilmente che in una varietà qualunque se di due corrispondenze 

 tra i suoi elementi l'una trasforma l'altra in se stessa, viceversa quest'ultima trasformerà quella in 

 se stessa e le due corrispondenze sono scambiabili. Nel nostro caso quella varietà si compone dei 

 punti e piani di S„ e le due corrispondenze sono l'omografia considerata e la polarità rispetto ad f. 



(•**) Negli enunciati parlo sempre di spazi fondamentali corrispondenti alle vario radici, perchè la 

 considerazione di queste li semplifica; ma sarebbe facile sopprimerle dando così a quelli una forma 

 più geometrica. — Avvertirò pure che parlando in seguito delle radici ± I sottintendei'ò sempre 

 che esse possono mancare, cioè essere di grado zero; quelle radici sono poi equivalenti per l'omo- 

 grafia, giacché un cambiamento di segno alle a^, le scambia tra di loro. 



A completare il n» 2, in cui si ha in parte la dimostrazione sintetica diìl teorema del sig. Frobenius, 

 vi sarebbe da stabilire collo stesso metodo che i divisori elementari di grado pari del determinante 2 , 

 i quali corrispondono ad una radice ± 1 sono a coppie di ugual grado; ma non mi è riuscito di farlo. 



