400 RICERCHE SULLE OMOGRAFIE E SULLE CORRELAZIONI IN GENERALE ECC. 



Sarà: lc,„,x ,x ^ — lci„XtX,„-\-p ^ Ci,„ìj,y„, + 2 p 1 c,,„Xiy„ , 



ossia, per l'ipotesi fatta sull'omografia (1) : 



2 Ci,n x'i ={p' +1)1 c,„, X, a;„, + 2p' 1 c,„ x, y„, , 



e similmente 



-<;/m^'>"m = (p"Vl)2c,„,.r;a;,„ + 2/5"2c,„.rc,?/,„ . 

 Quindi la nuova omografia muterà pure la quadrica f in se stessa se 



p'^+ 1 _ p"'+l 



condizione che si riduce a {p — p")(p'p" — 1) = , 

 ossia, escludendo il caso dell'identità {o' — p"=0),a 



p'p"=l . 



Quest'equazione determina tra i parametri p', p" un'involuzione, la quale interpretata 

 sul raggio congiungente i punti x , y , coincide , com'è facile vedere , con quella già 

 considerata. Dunque : 



Se su una delle infinite imnteggiate proiettive die congiungono coppie di punti 

 corrispondenti in tm' omografia che muta f in se stessa si scelgono due punti qua- 

 lunque e sulle altre i loro corrispondenti si avrà una nuova omografia, la quale, 

 se le coppie di jmnfi ottenute nel modo detto appartengono alle involuzioni relative 

 a quelle congiungenti, muterà f in se stessa {*). 



In particolare, se sul raggio congiiingente due punti corrispondenti si considerano 

 i due punti d'intersezione con f , all'uno di essi non potrà corrispondere che l'altro 

 nella corrispondente omografia che muta f in se stessa. Dunque in ciascuna delle 

 involuzioni considerate una coppia è costituita dai punti d'intersezione con f [**). Però 

 non bisogna credere che in quelle involuzioni tutte proiettive tra di loro questa coppia 

 rimanga corrispon lente a se stessa (come per le altre coppie prima considerate), chè 

 ciò non è in generale. 



h. Una conseguenza immediata del teorema visto al n" 1 è che ponendo 

 A= I r/,, I , B= \ h,, I , 



B . . 



sarà — = ± 1 . Ciò si può anche dimostrare direttamente osservando che la risolu- 

 A 



(*) Nel caso di n impari, distinguendo le onaografìe che trasformano una quadrica in se stessa 

 in due specie come si vedrà in seguito, si prova facilmente che le infinite omografie dedotte nel modo 

 ora enunciato da un'omografìa che trasforma f in se stessa sono tutte della stessa specie con questa 

 omogi'afìa primitiva. 



[**) Ciò si dimostra pure analiticamente e in modo pili completo notando che dal n" presente segue 

 che i due punti d'intcrse/Jone della retta xì/ colla quadrica f sono determinati dall'equazione 



" 1 ) ^ ^Im + 2 p £ C;„, 2/„ = 



e quindi corrispondono a valori reciproci di p. 



