402 KICEKCIIE SULLE OMOCKAFIE E SULLE CORRELAZIOXI IX GENERALE ECC. 



vale + 1 ojìpure — 1 ; dunque lo stesso varrà pel numero totale dei divisori elementari 

 corrispondenti a quella radice. Traducendo questo geometricamente e riassumendo avremo: 

 In una omografia di V specie di uno spazio a namero impari di dimensioni 

 gii spazi fondamental i corrispondrìiti alle radiei {di grado pari) ±1 sono a numero 

 impari di dimensioni {se tali radici esistono), mentre in un omografia di 2" sjH'cie 

 gli spazi fondamentali corrispondenti alle, radici {sempre esistenti e di grado impari) 

 ±1 sono a mimerò pari di dimensioni {*). 



5. Limitandoci ancora al caso di n impari osserviamo die l'omografia risultante 

 da più omogralìe successive ha per modulo il prodotto dei loro moduli. Ora si vede fa- 

 cilmente che una proiezione della quadrica /' su se stessa, o meglio un'omologia armonica 

 rispetto ad un punto (non di f) ed al suo piano polare rispetto ad /" , è un'omografia di 

 modulo —1 . Dunque facendo seguire ad un'omografia di Po di 2' specie una proie- 

 zione si ottiene risp. un'omografia di 2 ' o di V specie. E il risultato di più proiezioni 

 successive sarà un'omografia di P o 2'' specie secondo che il numero di quelle proie- 

 zioni è pari od impari. Ciò posto, dico che viceversa ogni omografia che trasforma /' in 

 se stessa può considerarsi come risultante da un certo numero di proiezioni (**). 



Consideriamo in fatti un'omografia di 2* specie qualunque, purché tale che almeno 

 una delle radici ±1 sia semplice (o più generalmente abhia un divisore elementare 

 corrispondente lineare) : essa avrà, corrispondentemente a quella radice, un piano unito 

 non tangente ad /" . Facendo seguire a quell'omografia una proiezione da un punto di 

 tal jìiano, si avrà una omografia di 1'^ specie in cui quel lìiano sarà ancora unito, e, non 

 essendo tangente ad /", dovrà (n" 2) appartenere ad uno spazio fondamentale corrispon- 

 dente a ±1 ; quell'omografia di V specie avrà dunque corrispondentemente a dzl uno 

 spazio fondamentale di piani ad 1 dimensione (o ad un numero impari maggiore — v. n"4) 

 non composto totalmente di piani tangenti ad /'. Prendiamo sul sostegno di esso un punto 

 e facciamo seguire all'omografia ottenuta una nuova proiezione avente questo ijunto 

 per centro : avremo per risultato una nuova omografia di 2' specie per cui quello 

 spazio di piani si comporrà ancora di piani uniti ed apparterrà quindi ad uno spazio 

 fondamentale corrispondente ad una radice ±1 , spazio fondamentale che dovrà quindi 

 essere a 2 dimensioni (o ad un numero pari maggiore). Da un punto del sostegno di 

 questo spazio fondamentale di piani proiettiamo ancora: avremo un'omografia di P specie 

 con uno spazio fondamentale di piani a 3 (od un numero impari maggiore di) dimensioni 

 corrispondente a ±1 . E cos'i continuando si finirà per giungere dopo n — 1 proiezioni 

 al più ad un'omografia di 2" specie avente uno spazio fondamentale di piani ad n — 1 

 dimensioni (stella), cioè ad una proiezione. Dunque rifacendo le varie proiezioni in ordine 

 inverso si ha che l'omografia di 2" specie considerata equivale ad n proiezioni. Siccome 

 poi ogni omografia di P specie si può ottenere da una di 2' specie seguita da una 

 proiezione , cos'i avremo (estendendo , come si può fare facilmente con considerazioni 

 di limiti, i risultati ottenuti alle omografie di 2" specie prima escluse) : 



(*) La stessa proposi/ione è dimostrata dal sig. Voss {Orthog. Substitutionen , pajr. 330) in 

 altro modo. 



('*) Il concetto della dimostrazione che segue si tro^'a nella Memoria citata del signor Zeuthen, 

 applicato alle trasforma/.ioni pioiettive di una quadrica ordinaria in se stessa. 



