DEL DOTT. CORRADO SEGRE 



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Un omografia grnrralc dir ìnuti in se stessa lina quadrica non (hgrnrrc in 

 nno spazio a numero impari n di dimensioni equivale ad n+1 oppure ad n pro- 

 iezioni secondo elie essa è di V o di 2' specie l'i sono risp. cxj^ ^ * ^ r oo^ ^ ' 

 gruppi di proiezioni equivalenti ad una tale omografia ; essi si formano coi modi 

 visti nella dimostrazione precedente. — Se poi si considera tm'omografa di V o 

 2' specie particolare , essa equivarrà ad un numero di proiezioni tiguiilc od in- 

 feriore {di un numero pari) al numero assegnato. 



Che un'omografìa di 1' o 2'" specie non possa, se è generale, equivalere a meno 

 di «+1 od n proiezioni si scorge facilmente; poiché se un'omografia di T' o 2^* specie 

 equivalesse appunto ad un numero minore di proiezioni , e quindi risp. ad n — 1 od 

 n — 2 al più , pei centri delle proiezioni passerehbe un sistema lineare infinito di piani 

 uniti per l' omografia risultante , sicché questa non sarebbe generale. Così si vede anche 

 (^uali particolari omografie possono equivalere ad un numero minore di proiezioni ; 

 equivalgono cioè ad n — le proiezioni quelle omografie che hanno uno spazio fonda- 

 mentale (di punti piani) a le dimensioni corrispondente a una radice d= 1 . 



Siccome ogni proiezione della quadrica f su se stessa scambia tra loro i due 

 sistemi di S„-_^ contenuti in /", così un'omografia muterà ciascuno di questi sistemi in se 



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stesso oppure li scambierà tra loro secondo che essa equivale ad un numero pari od 

 impari di proiezioni. Abbiamo così la seguente distinzione semplicissima tra le due 

 specie d'omografie: 



Un' omografia che muti f in se stessa muta pure ciascuno dei due sistemi 

 di S„_t contenuti in f in se stesso, oppure li scambia tra di loro, secondo che 



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essa è di V o di V specie. 



6. Sia ora n pari e vediamo a quante proiezioni equivalga allora un' omografia 

 che muti in sé la quadrica f. Nel caso piii generale vi sarà una radice semplice 

 uguale a ± 1 e quindi un punto unito isolato P fuori di f ed un piano unito isolato n 

 polare di P rispetto ad f ; su questo piano l'omografia considerata determina un'o- 

 mografia trasformante la (|uadrica generale ti /" a numero pari n — 2 di dimensioni 

 in se stessa, omografia di P specie che equivarrà in generale ad n proiezioni (n" 5). 

 Eseguendo queste proiezioni non sulla sola n f ma su tutta la quadrica /', l'omografia 

 primitiva si riduce ad un' omografia in cui tutti i punti di t: ed il punto P sono uniti, 

 cioè all'identità oppure ad una nuova proiezione. Dunque: 



In uno spazio a numero pari n di dimensioni un' omografia che muti in sè 

 una quadrica generale equivale ad n od n+1 proiezioni al più {**). 



Passiamo ora ad applicare i risultati generali ottenuti al caso particolare di 

 n — 5 e che la quadrica /' a 4 dimensioni che si trasforma in se stessa sia la qua- 



{*} Il sig. Voss {Orlhog. Subslitutionen, pag. 349) giunge per mezzo di calcoli allo stesso risultato. 

 ** 11 sig. Voss asserisce invece che una tale omografia equivale nel caso più generale ad n pro- 

 iezioni ; ma non mi riuscì di ridurre ad n le n + 1 proiezioni di cui si parla nel mio enunciato. 



