404 RICERCHE SULLE OMOGRAFIE E SULLE CORRELAZIONI IN GENERALE ECC. 



drica di rette (*). K noto che ogni trasformazione lineare della quaiìrica di rette 

 in se stessa, a seconda che essa lascia inalterati ovvero scambia tra h)ro i due sistemi 

 di S.^ in essa contenuti (punti e piani dello spazio ordinario), cioè a seconda che essa 

 è di 1' di 2''' specie, costituisce per lo spazio ordinario un'omografia ovvero una 

 correlazione ; e viceversa ogni omografìa o correlazione dello spazio ordinario può esser 

 considerata in tal modo. Quindi facendo quell'applicazione dei risultati precedenti noi 

 verremo a studiare le omografie e le correlazioni dal punto di vista della pura geo- 

 metria della retta e ad ottenerne cos'i nuove ed interessanti proprietà {^*). 



§ 2. 



Omografie dello spazio ordinario nella geometria della retta. 



7. Per avere una nuova classificazione delle omografie ordinarie non vi sarà da 

 far altro che applicare i teoremi trovati nel paragrafo precedente al caso di n = 5 

 e che si tratti di una trasformazione di 1' specie. Tale applicazioi^e potendosi fare 

 immediatam.ente senza aggiungere nessun ragionamento, la farò tacitamente, limi- 

 tandomi quasi sempre ad enunciai'e i risultati a cui essa conduce. Cos'i siccome 

 dai teoremi visti segue quale è il numero e la disposizione delle rette unite di 

 ogni omografia particolare , il confronto colla classificazione da me fatta sotto altro 

 punto di vista delle omografie dello spazio ordinario [Omografie, \\ 20) mi per- 

 metterà di collegare immediatamente quella classificazione colla nuova. Ogni caso 

 della prima classificazione comprende , come si vedrà , uno o più casi della nuova ; 

 distinguerò le caratteristiche di (quella e di questa mettendole risp. tra [ ] e tra ) j , 

 ed in ogni caratteristica della nuova classificazione segnerò con una lineetta orizzontale 

 superiore quei gruppi d' esponenti che corrispondono ad una radice ±1 e metterò 

 più vicini tra loro due; esponenti o gruppi d' esponenti che corrispondano a radici 

 reciproche. 



(*) V. per quanto riguarda la geometria della retta e che qui ci occorrerà la mia Memoi ia Sulla 

 geometria della retta e delle sue serie quadratiche (Memorie di quest'Accademia, voi. XXXVI), ove si 

 troveranno anche le citazioni opportune. 



!**) Il sig. Voss nella Memoria sullo sostituzioni ortogonali ripetutamente citata notò già come 

 dalla classificazione di queste per G variabili si possa dedurre quella delle omografie e delle correla- 

 zioni dello spazio ordinario, ma non sviluppò quel concetto come qui sarà fatto. 



Benché non abbia relazione immediata col nostro ai'gomento , non si troverà forse priva d'in- 

 teresse la seguente osservazione. Al signor Frobenius è dovuto il seguente teorema analitico {Ueber 

 die schiefe Invariante einer bilinearen oder quadratischen Form, Creile, 86): « Se il determinante di 

 un fascio di forme quadratiche (non identicamente nullo) ha almeno un divisore elementare d' espo- 

 nente impari, quel fascio ammette trasformazioni improprie in se stesso; altrimenti no ». Applicandolo 

 ad un fascio di quadriche di S5 , il quale comprenda hi quadrica di rette, essoci dà che un complesso 

 quadratico di rette dello spazio ordinario è correlativo a se stesso oppure no, secondo che nella sua 

 caratteristica entrano esponenti iuipaii ovvero soltanto esponenti pari. Così si ha una spiegazione del 

 fatto che si verifica esaminando la classificazione dei complessi quadratici, cioè che i complessi qua- 

 dratici non duali a se stessi sono i seguenti: [2iì2\, [4>], [6J, [(22)2], [(42)], [(222)]. 



