408 RICERCHE Sn.I.E OMOGRAFIE E SULLE CORRELAZIONI IX GENERALE ECC. 



del complesso tetraeclrale corrispondente ali' omografia {*). — Se poi in tutti i fasci 

 di complessi lineari determinati nel modo detto si prendono coppie delle relative in- 

 voluzioni formanti dati rapporti anarmonici colle 4 coppie considerate si avranno 

 coppie di complessi lineari corrispondentisi in una determinata omografia (avente 

 lo sfesso complesso tetraedrale che la data). 



Questo teorema si modifica in vario modo per le omografie particolari ; alcune 

 di queste modificazioni sono affatto ovvie, altre meno : tutte però si ottengono dalla 

 teoria generale. 



Così per l'omografia i ( 11 ) 11 1 1 { si lia : Se un' omografia ha un fascio di 

 complessi lineari uniti le cui direttrici siano s.,, due complessi lineari corrispon- 

 denti qualunque determinano un fascio nel quale esiste sempre tin complesso pas- 

 sante per entrambe le rette s^s^; questo complesso è elemento doppio di un'invo- 

 luzione in cui una coppia è costituita dai due complessi corrispondenti considerati 

 e altre coppie dai complessi passanti per le coppie di spigoli opposti diverse da s^ s., 

 del tetraedro unito e dai complessi speciali dei fascio. Ecc. ecc. Invece di 3 vi sono 

 allora solo più 2 invarianti assoluti. — E per l'omografia (11) 11' vi è solo 



più un invariante assoluto e si ha : Se tm'omografia ha due fasci di complessi li- 

 neari uniti, le cui direttrici siano le coppie r^ r., , s, di spigoli opposti del te- 

 traedro unito, due complessi lineari corrispondenti qualunque determinano un fascio 

 in cui esistono due complessi passanti risp. per r^r., e per Sj s^; questi due com- 

 plessi sono tra loro involutori e sono coniugati armonici rispetto a quei due com- 

 plessi corrispondenti ed ai due complessi del fascio passanti pei due spigoli non 

 considerati del tetraedro unito. Ecc. ecc. 



Per l'omografia )(11)(11) 11 ( si avrà: Se ìin omografia ha una retta di 

 punti uniti ed una retta di piani uniti e quindi ancora in generale due punti uniti 

 isolati su questa e due piani uniti isolati per quella, due complessi lineari corri- 

 spondenti qualunque determinano tm fascio in etti esistono due complessi rispetto 

 a ciascuno dei quali uno dei due j^^^niì u^'^iti isolati ha per corrispondente il piano 

 tmito isolato che lo contiene : questi due complessi, quelli corrispondenti conside- 

 rati, i due che passano risp. per le rette di punti e piani uniti ed i due speciali 

 formano 4 coppie di un involuzione. Ecc. Gl'invarianti assoluti qui sono 2. — Se 

 poi si scende al caso più particolare J{11)(11) (11)!, si ha solo più un invariante 

 e nell "involuzione testé considerata la terza coppia si riduce ad un elemento doppio. 



11 caso )(1111) 11 J ci dà: In un'omografia rigata due complessi lineari 

 corrispondenti determinano un fascio contenente un complesso rispetto a cui le due 

 direttrici dell'omografia sono rette corrispondenti: questo complesso è doppio nel- 

 l'involuzione a cui appartengono i due complessi corrispondenti, i due complessi 

 del fascio passanti risp. per le direttrici ed i due complessi speciali. Ecc. — Nel 



(*) Se i due complessi lineari corrispondenti considerati sono in particolare due rette corrispon- 

 denti le quali si taglino non si ottiene nulla di nuovo, poiché considerando nel loro piano la conica 

 del complesso tetraedrale e il quadrilatero, ad essa circoscritto, d'intersezione col tetraedro unito, 

 quella proposizione generale dà il correlativo del teorema di Desargues sul quadrangolo completo 

 iscritto in una conica e mostra inoltre che il rapporto anarmonico delle quattro coppie di un'invo- 

 luzione determinate su ogni retta del piano dalle intersezioni colla conica e colle coppie di lati opposti 

 del quadrangolo è uguale a quello dei quattro vertici di questo considerati sulla conica. 



