DEL DOTT. CORRADO SEGRE 



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caso j(llll) (11)!, cioè se l'omografia rigata è involutoria i due complessi del fascio 

 passanti per lo direttrici coincidono. 



Nel caso ) (IH) (111)! ^'^ un' omologia ordhifiria due coììixìÌcssì l/ìicari 



corrispondenti si tagliano in una congruenza delie cui direttrici una passa pel 

 centro e l'altra sta nel piaìio (roinologia. Questo risultato si ottiene pure imme- 

 diatamente per via diretta. 



Finalmente nel caso ) (2211)J avremo: Imm' omologia speciale due complessi li- 

 neari corrispondenti si tagliano in una congruenza speciali (dalle direttrici infinita- 

 mente vicine) la cui direttrice sta nel piano d' omologia e passa pel centro d' omologia. 



9. Coi risultati dei due numeri precedenti è fatta la classificazione, non solo 

 delle, omografie, ma anche del sistema di due quadriche nella geometria delia 

 retta. Ciò è conseguenza del fatto che la geometria proiettiva di una coppia di qua- 

 driche coincide colla geometria proiettiva dell' omografia risultante dalle polarità ri- 

 spetto a queste quadriche (V. Omografìe , nota alla fine del n" 11). Se in tutti 

 quei risultati si considerano le omografie come generate in tal modo e si sostituisce 

 alla considerazione di esse quella delle coppie di quadriche corrispondenti si avranno 

 appunto classificazione e proprietà delle varie coppie di quadriche. Un complesso lineare 

 unito (e in particolare una retta unita) per un'omografia darà luogo con un altro tale 

 complesso (che può in particolare coincidere con quello) ad una coppia di complessi 

 polari l'uno dell'altro rispetto ad entrambe le quadriche del sistema corrispondente. 

 Un fascio di complessi lineari uniti, quale compare nell'omografia j (11) 11 H j , ecc., 

 sarà pel sistema di due quadriche un fascio di complessi lineari a due a due polari 

 l'uno dell'altro rispetto ad entrambe le quadriche: si avrà così in quel fascio un'in- 

 voluzione (di cui una coppia si comporrà dei due complessi .speciali) , i cui elementi 

 doppi saranno due complessi lineari involutori tra loro e dei quali ciascuno sarà polare 

 di se stesso rispetto ad ambe le quadi'iche , sicché (come si vede tosto) l'uno coi\terrà 

 di ciascuna quadrica un sistema di generatrici e l'altro ne conterrà l'altro sistema. 

 Due rette unite per l'omografia corrispondenti a radici reciproche saranno polari reci- 

 proche rispetto ad ambe le quadriche; quindi due fasci di rette unite corrispondenti a 

 radici reciproche, quali compaiono ad esempio nel caso )(11)(11) 11 (, sono polari 

 l'uno dell'altro rispetto alle due quadriche ; ecc. ecc . Con queste avvei-tenze i risultati 

 avuti si possono applicare immediatamente, come dicevo, al sistema di due quadriche. 



Ma v'ha di più. Una quadrica Q'^ dello spazio ordinario considerata come com- 

 plesso delle sue tangenti è determinata sulla quadrica di rette lì di S. come base 

 di un fascio di varietà quadratiche a 4 dimensioni 31^' nel quale si trovano due coni 

 di 3* specie (aventi due S„, polari l'uno dell'altro rispetto a tutto il fascio, per so- 

 stegni) : si prenda a rappresentante di Q' in >S'. quella 31^' del detto fascio, la quale 

 è coniugata armonica di li rispetto ai due coni. Allora con un semplice ragionamento 

 sintetico si vede che in i piani polari di un punto rispetto ad R ed a (quella M^' 

 tagliano i? in due complessi lineari polari reciproci rispetto alla quadrica ordinaria Q'. 

 Considerando ora due tali quadriche e le J/^' corrispondenti (nel modo detto) 

 di l'omografia risultante dalle polarità rispetto alle due quadriche Q' sarà pure 

 in S. risultante dalle polarità rispetto alle due 31^^ e quindi la sua caratteristica ed 



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