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RICERCHE SULLE OMOGRAFIE E SULLE CORRELAZIONI IN GENERALE ECC. 



i suoi invarianti saranno pur quelli del sistema di (Queste due M^' . Dunque non solo 

 a ciascun caso di omografia della classificazione fatta dianzi corrisponde una posizione 

 particolare di dne quadriclie, ma inoltre la caratteristica di quell' omografia nella 

 geometria della retta è nello stesso tempo la caratteristica di questa coppia di qua- 

 driche considerate come complessi delle loro tangenti nel modo detto. Ne segue che, 

 avendo il sig. Voss nella Memoria citata sul principio studiato il sistema di 2 qua- 

 driclie in quest'ultimo modo, non si farebbe in parte che ritrovare i suoi risultati 

 fermandosi a dedurre , come abbiamo mostrato potersi fare, la classificazione delle coppie 

 di quadriche da quella delle omografie. 



§ 3. 



Sulle correlazioni in ispazi lineari qualunque. 



io. Prima di passare ad occuparci, col metodo già accennato, delle correlazioni 

 dello spazio ordinario, conviene che vediamo alcune proposizioni generali sulle corre- 

 lazioni in uno spazio lineare qualunque (*). 



Abbiasi in S„ una correlazione qualunque non degenere ; essa potrà rappresen- 

 tarsi con un' equazione bilineare 



in cui le .r,, sono coordinate di due punti coniugati, cioè di due punti dei quali 

 uno sta sul piano corrispondente all'altro. Allora la correlazione inversa sarà rappre- 

 sentata dall'equazione coniugata : 



vale a dire un punto x a seconda che lo si considera nell'uno o nell'altro dei due 

 spazi correlativi avrà per corrispondente il piano avente la prima o la seconda di 

 (quelle equazioni in coordinate di punti variabili x'. Movendosi x, quei due piani si 

 corrispondono in un'omografia, che risulta dalla ripetizione della correlazione consi- 

 derata, ed è rappresentata dalle equazioni 



1 a,^x,^la^i x' . 



i i 



Dirò che quell'omografia appartiene alla correlazione, poiché essa è legata a 

 questa in modo molto intimo. In fatti il sig. Kronecker ha dimostrato il seguente 

 teorema : la condizione necessaria e sufficiente affinchè due forme bilineari si pos- 



(♦) Di quelle correlazioni si occupò pure il sig. Voss nella sua Memoria, ma risolvendo intorno 

 ad esse questioni diverse da quelle che qui mi occupano. 



(♦•) Quando in 2 non è indicato rispetto a qual indice si somma, intenderò sempre con i k una 

 disposizione completa degli indici 1,. . . n + 1. 



(»»•) Ueber die congruenlcn Trans forrnationen der bilinearen Formen. Beri. Monatsbericlite , 

 J874, p. 432. 



