UEL DOTT. CORRADO SEGRE 



411 



sano trasformare l'una nell'altra con una sostituzione cogrediente è che la coppia 

 costituita dall'una forma é dalla sua coniugata sia equivaìentc alla coppia costituita 

 dall'altra forma e dalla sua coniugata (cioè sia trasformabile in questa seconda coppia 

 con sostituzioni qualunque). E da esso si trae facilmente la seguente notevole pro- 

 posizione : 



L' omografia appartenente ad una correlazione dà colle sue particolarità pro- 

 iettive ed in particolare coi suoi invarianti assoluti tutte le particolarità proiettive 

 e gV invarianti assoluti della correi azione. 



Vi è dunque, anche per le correlazioni coiiie per le omografie, un determinante 

 caratteristico da cui dipendono tutte le loro proprietà speciali. 



Ma importa notai'e che un" omografia appartenente ad una correlazione non è 

 generale, poiché ha luogo un altro teorema del sig. Krokecker (*), che si può enun- 

 ciare come segue : 



Per V omografia appartenente ad una correlazione i divisori elementari del 

 suo determinante caratteristico [ pa,,. +qaki ] sono a coppie di ugual grado e corri- 

 spondenti a radici reciproche, esclusi quelli di grado pari che s'annullassero per 

 p:q = +l e quelli di grado impari che s'annullassero per p:q = — 1. 



Da questi due teoremi si traggono la classifica_zione delle correlazioni e notevoli 

 proprietà di queste. 



\\. Per riconoscere meglio il significato geometrico dell'ultimo teorema conside- 

 riamo l'equazione „ , , , i 



^{pai,+ qa^,)x,x,^=0 . 



Essa rappresenta per ogni valore di p : q una correlazione in cui ad un punto x cor- 

 risponde un piano di coordinate Ia = - (i> + S'^'a i) i cioè un piano che varia in 



i 



un determinato fascio proiettivamente al parametro p-q. La correlazione inversa di 

 ^^^^^^ ® l{p a ^, + q a, J r, .r/ = . 



vale a dire corrisponde al valor reciproco di 2):q (In particolare pei valori oo e 

 di 2):q si hanno la correlazione considerata da principio e la sua inversa). In questa 

 serie di correlazioni a due a due inverse (che si potrebbe convenientemente chiamare 

 fascio di correlazioni) , le sole che coincideranno colle loro inverse corrisponderanno 

 dunque a = Per p : q— — 1 si ha 



la,,^{x,x^—x^xl) = , 



cioè un sistema nullo, correlazione tale che il piano corrispondente in essa ad un 

 punto qualunque passa sempre per questo {**). Per 2) :qz=-\-l si ha 



2(a.A + rtA,) XiXk' = , 



(*) Loc. cit. , p. 440 e seg. 



{'*, Per n pari il sistema nullo è sempre degenere. Ed in generalo va notato che da proprietà 

 note dei determinanti gobbi (quale è quello della corrispondenza che la correlazione determina) , le 

 quali sono contenute nell'ultima proposizione del n" 10, segue che in uno spazio a numero pari od 

 impari di dimensioni un sistema nullo non può degenerare risp. un numero pari zero incluso oJ 

 impari di volte. 



