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KICEKCHE SULLE OMOGKAFIE E SULLE CORKELAZ'lONI IN GENERALE ECC. 



cioè la polarità rispetto alla qnadrica 



questa qnadrica è evidentemente il luogo dei punti che stanno sui piani corrispon- 

 denti nella correlazione data (e sui piani corrispondenti in tutte le correlazioni della 

 serie considerata). 



Conchiudendo abhiamo la proposizione seguente : 



Se per una correlazione cjuaìunque si considerano i due piani che corrispon- 

 dono ad un punto qualunque (nella correlazione sfessa e nella sua inversa), quel 

 piano del loro fascio che passa pel punto corrisponde a questo in un determinato 

 sistema nullo L ed il piano couiugato arvioiiico di esso rispetto ai primi due è 

 polare del punto rispetto alla cpiadrica F' luogo dei punti che stanno sui piani 

 corrispondenti. Questi due nuovi piani determinano come elementi doppi un' invo- 

 luzione tale che due piani del fascio coniugati in essa e f adenti dati rapporti 

 anarmonici coi quattro già considerati corrispondono al punto in una detcrminata 

 correlazione e nella sua inversa. Sono pure coniugati in quelVinvohtzione due piani 

 passanti per ispazi fondamentali di punti (delV omografia, appartenente alla corre- 

 lazione considerata) corrispondenti a radici reciproche. 



La considerazione della coppia di punti corrispondente ad un piano qualunque 

 e del raggio che li congiunge dà risultati corrispondenti per dualità ai precedenti e 

 conduce in particolare ad un nuovo sistema nullo A e ad una quadrica '!>' inviluppo 

 dei piani che contengono i punti coi'rispondenti (*). 



42. Gli spazi fondamentali di punti (e di piani) dell'omografia appartenente ad 

 una correlazione, o, come dirò piìi brevemente , gli spazi fondamentali di una corre- 

 lazione sono costituiti da quei punti (o risp. piani) a cui corrisponde uno stesso piano 

 (o punto) nella correlazione considerata e nella sua inversa, punti che dirò involutori 

 rispetto a queste. Essi sono tra loro in relazioni, di cui alcune seguono immediatamente 

 dalla teoria geneisale delle omografie, ed altre si ottengono coi ragionamenti seguenti.. 



Per un punto x di uno spazio fondamentale qualunque avi-anno luogo le equazioni 



2(2>'«,i + g'«;t,)x,. = , 



i 



dove p: q è una determinata l'adice del determinante caratteristico. Da esse segue 



/ 2) p 



+ 2 «*/)•''"£ = ? r 



sicché a quel punto corrisponde uno stesso piano in tutto il fascio di correlazioni e 



(*j 11 teorema del sig. Kronecker citato alla fine del n" IO e dimo.strato ora in parte si può anche 

 dimostrare con un ragionamento analogo a quello usato al n» 2 pel teorema del n» I intorno alle 

 omografie che trasformano una quadrica in se stessa. In fatti si vede immediatamente cb.e l'omografia 

 appartenente alla correlazione è trasformata in se stessa dalla correlazione od anche, il che è lo stesso 

 in sostanza, per la seconda nota al n° 2, che la correlazione A trasformata in se stessa dall'omografia , 

 E siccome l'omografia è nello stesso tempo correlativa alla sua inversa, se ne deducono tosto la cor- 

 rispondenza detta tra i suoi spa/.i fondamentali ed anche le involuzioni considerate. 



2; 0;,. Xi 



