414 RICERCHE SULLE OMOGRAFIE E SULLE CORRELAZIONI IN GENERALE ECC. 



sia I : m) saranno coniugate sicché la correlazione rappresentata dall'equazione bili- 

 neare / 'p + n> <^ = avrà per quadrica F ' e per sistema nullo L precisamente la 

 quadrica © = ed il sistema nullo ti/ = che si scelsero ad arbitrio. Dunque : 



Lo studio e la classificazione di una quadrica ed' un sistema nullo coinci- 

 dono collo studio e la classificazione di quel fascio di correlazioni, per cui quelli 

 sono la quadrica Y' ed il sistema nullo L. In imrticolare gV invarianti assoluti 

 del sistema composto dalla quadrica e dal sistema mdlo coincidono con quelli di 

 quel fascio di correlazioni e quindi (come segue facilmente dalle cose viste) con 

 quelli della particolare omografia che si ottiene facendo seguire al sistema nullo 

 In polarità rispetto alla quadrica. 



§ 4. 



Correlazioni dello spazio ordinario. 



14. Applicando i risultati del § precedente allo spazio ordinario si hanno le 

 correlazioni dello spazio ordinario, le loro proprietà e la loro classiticazione dal punto 

 di vista ordinario , cioè della geometria dei punti e dei piani. Applicando invece i 

 risultati del § 1 si ha la classificazione delle correlazioni dello spazio ordinario nella 

 geometria della retta, cioè considerandole come trasformazioni omografiche di 2* specie 

 della quadrica di rette in se stessa. Noi qui faremo la classificazione usando simulta- 

 neamente entrambi i punti di vista. Le caratteristiche ordinarie verranno ancora, come 

 nel § 2 , distinte da quelle relative alla geometria della retta ponendo le prime 

 tra [ ] e le seconde tra J j ; vedremo che ad una di queste seconde caratteristiche 

 può corrispondere più di una delle prime e non viceversa. Quanto alle prime, porrò 

 un -|- od un — su un gruppo d'esponenti, quando esso corrisponde alla radice +1 



— 1; mentre nelle seconde caratteristiche una semplice lineetta orizzontale sovrap- 

 posta indicherà che la radice corrispondente è ±1 (perocché in queste caratteristiche 



1 valori +1 e — 1 sono equivalenti). 



]\ T 11 li;. 



[11 11]. Nel tetraedro fondamentale tralasciando due spigoli opposti r^ gli 

 spigoli rimanenti costituiscono le 4 rette unite della correlazione e formano un qua- 

 drilatero tale che ciascuno dei suoi vertici sta sulla quadrica F' ed ha per piano 

 tangente a questa e nello stesso tempo per piano con'ispondente rispetto alla correlazione 

 e rispetto al sistema nullo L il piano dei due lati passanti per esso (n° 12). Ne segue, 

 facendo anche uso delle proposizioni correlative, da un lato che le due quadriche F' 

 e <!>' contengono quel quadrilatero, dall'altro che le diagonali r^ r^ di questo si corri- 

 spondono reciprocamente sia nella correlazione che si considera sia rispetto ai due 

 sistemi nulli o complessi lineari Z e A. Quindi i complessi lineari del fascio r^ r., 

 sono a due a due coniugati in un'involuzione a cui appartengono le coppie r^ r^ e 

 LX, in modo che due complessi coniugati si corrispondono reciprocamente nella cor- 



