416 RICERCHE SULLE OMOGRAFIE E SULLE CORRELAZIONI IN GENERALE ECC. 



complessi H. — Siccome per romografia è luogo di punti uniti e inviluppo di 

 piani uniti, cosi a ciascun punto di corrispondono nella correlazione due piani coin- 

 cidenti in un piano passante per r., , cioè nel piano polare del punto rispetto a 

 e <!>', e inversamente ogni piano per ha per corrispondenti nella correlazione due 

 punti coincidenti nel polo di esso rispetto a quelle quadriche ; vi è cioè in questo 

 caso per la correlazione una retta di punti invoìutori ed una retta r., di piani 

 invoìiitori. 



J3 T 



[22]. In questo caso le due quadriche F' e sono raccordate lungo una gene- 

 ratrice r congiungente i due punti fondamentali e giacente nei due piani fondamen- 

 tali : per quelli e risp. su questi passano le altre due generatrici comuni a quelle 

 quadriche ; esse corrispondono agli esponenti 11 ed r all'esponente 3 della caratteri- 

 stica ) 3 1 1 1 { . Oltre a queste 3 rette unite, la correlazione ha un complesso lineare 

 unito, corrispondente all'I, e passante per la congruenza lineare speciale delle tangenti 

 lungo r ad F' e (poiché queste due quadriche si corrispondono sempre rispetto 

 ad ogni complesso lineare unito della correlazione). Questa congruenza è base di un 

 fascio di complessi lineari nel quale quel complesso unito ed il complesso speciale r 

 sono coniugati armonici rispetto ad infinite coppie ( tra cui è la coppia L A) di 

 complessi corrispondentisi involutoriamente nella correlazione considerata. — 11 complesso 

 quadratico diventa per questa correlazione della classe [(21) (11)1]. 



13 3;. 



[(31)]. Le quadriche F' e <!>' sono raccordate lungo due generatrici, clie sono 

 le sole rette unite della correlazione. Due rette del loro fascio, coniugate armoniche 

 rispetto ad esse, sono l'una luogo di punti invoìutori, l'altra inviluppo di piani 

 invoìutori. 



1 complessi lineari i e A si riducono rispettivamente ai complessi speciali r., ; 

 due rette del fascio di queste due le quali siano coniugate armoniche rispetto alle 

 due rette unite si corrispondono involutoriamente nella correlazione. Non esistono com- 

 plessi lineari uniti non speciali. 11 complesso quadratico è della classe [(21) (21)], 

 e si può considerare come complesso H. 



l(iTT) T ii(. 



[(11) (11)]. In questo caso assai notevole le quadriche F' e <!>'" coincidono. In 

 fatti in questo caso l'omografia appartenente alla correlazione è rigata: siano le sue 

 direttrici, che per la correlazione saranno insieme luoghi di punti invoìutori ed invi- 

 luppi di piani invoìutori e che staranno su JP"* e <P'. Ogni generatrice dell'altro si- 

 stema di F' avrà per corrispondente nella correliizione se stessa, sicché tutte quelle 

 generatrici saranno rette uni^e e giaceranno quindi anche su 0', cioè 0' coinciderà 

 con F^. Che in questo caso le rette unite della correlazione formano un sistema di 

 generatrici di una quadrica è pure mostrato immediatamente dalla caratteristica 

 }(111) 1 ll{,la quale inoltre ci dice che sono pure uniti per la correlazione tutti 



