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RICERCHE SULLE OMOGRAFIE E SULLE CORRELAZIONI IN GENERALE ECC. 



Volendo dunque studiare direttamente le varie specie di omografie e di corre- 

 lazioni che mutano un complesso lineare di rette in se stesso basterebbe studiare le 

 trasformazioni lineai'i di uno spazio a 4 dimensioni, le quali mutano in se stessa una 

 quadrica non degenere a 3 dimensioni, vale a dire applicare i risultati del § 1 al 

 caso di « = 4 . Ma lo studio di quelle omografie e correlazioni è già contenuto nei 

 §§ 2 e 4 , poiché ivi abbiamo notato tra le varie omografie e correlazioni quali sono 

 quelle che ammettono complessi lineari (non speciali) uniti, cioè trasformati in se stessi. 

 Quindi non occorre che ci diffondiamo di più su quest'argomento. 



18. Tuttavia voglio qui indicare la corrispondenza tra i vari casi che si otter- 

 rebbero considerando quelle omografie e correlazioni nel primo modo, cioè in come 

 caso particolare delle cose viste nel § 1 , e quelli ottenuti nei §§ 2 e 4 conside- 

 rando quelle trasformazioni nella geometria della retta. Si ha cioè la corrispondenza 

 seguente (*) : 



Trasformaz. di S'. 



Omografie 



Correlazioni 



[1 11 11] 



}(n) 11 ii{ 



;i T 11 11 



[1 22] 



](U) 22 { 



j 1 T 22 ; 



[1 (11) 11] 



KH) (u) iij 



1(111) T 11 



[3 11] 



1(31) 11| 



13 1 11| 



[T (31)] 



l(3ì) (TT)j 



j(3Ti) T| 



[5] 



1(51); 



1^ 1! 



[1 (11)(11)] 



}(11) (ll)(ll)i 



JT T (ii)(ii) 



[3 (U)] 



1(31) (TI); 



l(TTi) 3( 



[(ni) 11] 



1(1111) ii| 



l(iiì) I 11 



[1 (1111)] 



1(1111) (11)! 



1(11111) i; 



[(111) (H)] 



1(1111) (11)1 



l(TTi) (In) 



[1 (22)] 



J(22) (Ujj 



1(22"!) T{ 



[(^)] 



l(3111)i 



i(3Ti) !{ 



[(221)] 



.1(2211)1 



1(221) T; . 



di questo Sj,_, che muti in se stessa l'intei-se/ioue con quella quadrica appartiene a due distinte e 

 determinate trasformazioni lineari di S^, che mutano in se stessa quella I''^„_, (che sono di diversa 



specie se M è impari) e che si ottengono l'una dall'altra mediante una pi'ojezione della F^_^ dal 



polo dell' rispetto ad essa. 



Da questo teorema (come pure dal ragionamento dii-etto sopra usato) risulta pure che l'omografia 

 e la correlazione dedotte nel modo detto da una trasformazione lineare di C in se stesso sono cia- 

 scuna il risultato della composizione (in ordine ai'bitrario) dell'altra e della corrispondenza rispetto a C. 



(*) La si stabilisce subito basandosi sul concetto contenuto nella nota al numero precedente ed 

 applicando il seguente teorema generale (per n = o, h=\): 



Dalla caratteristica di un'omografia qualunque di si ha la caratteristica dell'omografia che 



