4 24 RICERCHE SULLE OMOGRAFIE E SULLE CORRELAZIONI IN GENERALE ECC. 



Queste ultime equazioni mostrano che , considerando l'omografia come trasformazione 

 lineare dello spazio a 5 dimensioni degli enti ^j),,,) , essa ha per determinante carat- 

 teristico 



D {s) = Jo^ {s — a, a.,) (.s — «, tti) {s — a, a ^ ) {s — a 3) (s — a^a,^ ) {s — 03 a,, ) , 



ossia , come si trova mediante semplici calcoli di funzioni simmetriche : 



D (s) = JJ s'- J: s' + Jo ( - 'To ) - {Jo J^' - 2 J. J,+ J,'J, ) 

 + J, (./. 'h- 'h ) - J. J^s + J^' . 



I coefficienti delle potenze di s in quest'espressione costituiscono un sistema d'in- 

 varianti dell'omografia considerata nella geometria della retta ed essi si trovano così 

 espressi mediante il sistema Jj^,. . . degl'invarianti ordinari dell'omografia. Da ciò 

 seguono proposizioni interessanti , di cui mi basterà citare una. Si osservi che il 

 coefficiente di ^S*" si annulla quando J!> = ; ricordando dunque il significato geometrico 

 degl'invarianti di un'omografia ottenuti come coefficienti del determinante caratteri- 

 stico (*) si ha : 



La condizione perchè si annulli Vinvariante J., di un'omografia, cioè die esista 

 una coppia di tetraedri corrispondenti tali che ogni spigolo delVuno tagli quello 

 opx)osto al suo corrispondente delValtro, coincide con quella assai più generale che 

 esistano due sestuple di complessi lineari corrispondenti tali che ogni cotnplesso 

 dell'una appartenga coi cinque non corrispondenti delValtra ad una serie lineare 

 quattro volte infinita (cioè sia involutorio al complesso involutorio a quei cinque). 



Noto ancora che, essendo 



(a, a, - 03 a , ) {a, a, - a^ a,) (r/, a^— a^ a^) = ^ - J^J.; ) , 



se ne deduce (n" 1) : Affinchè V omografia considerata muti in se stessa una quadrica, 

 ossia muti in se stesso un complesso lineare -.non speciale {e quindi ìin fascio), 

 cioè sia } ( 1 1 ) 11 11', occorre e basta che 



20. Passando ora agl'invarianti di una correlazione, osserviamo che questa, se è 

 generale, si può rappresentare con un'equazione bilineare della forma 



m a;/,r^+ n x^x, -\- p x^x^ + qx^x^ = . 



11 determinante caratteristico , cioè il determinante del fascio determinato da quella 

 forma bilineare e dalla 



=r {m p + n) {n + m) {p p + q)iqp + p) ■ 



(*) V. la mia Nota (estratto di una lettera al signor Rosanes); Sur les invariants simuUanés de 

 deux formes quadratiqnes , Math. Ann., XXIV, p. 15'.?-6. 



