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ÉTUDES SUR LA THÉORIE DES VIBRATIONS 



Vibralions concenti' iques d'une sphère homogène élastique. 



46. Soient O (fig. 12) le centi-e de la sphère, 

 et O A ■=. r le rayon correspondant aux points 

 A, B, C, D ; considérons un éleinent ABCDabcd 

 compris entre deux surfaces sphériques de rayons r 



r-^dr , et ayant pour base le cpiadrilatère rec- 

 tangulaire ABCD , dont les còtés infinitiient petils 

 sont égaux entr'eux et à rd'^ , dcp étant l'angle de 

 deux i^ayons OA, OB , contigus. Si est la densité 

 de la sphère, la masse de l'éléraent, que nous con- 

 sidérons, sera 



^./■^ dvdf. 



Représentons par Q l'allongement du rayon r qui a lieu pendant le 

 mouvement à un instant déterminé par le temps t; soit E le module 

 d'èlasticité de la matière composant la sphère. L'allongement propor- 



f^'^ 1 • ■ j 



tionnel, correspondant au i\ayon r, sera -j- , et celui qui correspond 



au ri 



1 . 1 , C/^ * • • IWI , ,17, 



r~x-dr , deviendra h"--!-. Amsi 1 element t'^ardcp^ sera 



' dr 



'^y^" — ^ - dr 



soUicité , dans le sens du rayon , par une force égale à la dilTérence des 

 deux i-ésistances élastiques déterminées par les allongements précédents , 

 et appliquées respectivement aux deux faces A B C D z= r'^ d cp^ et 

 abcd={r-i-dr)\l(p\ 

 Cette force sera donc 



(3o3) 



dG 



d.-r- ) — Ei-'^dcù'- -y- 

 dr dr 



E{r^drrdr.(jj. 



— Er d(p { r —, h 2 r . — } 



dì 



dr 



On a negligé, dans les produits, les infiniment petits du quatrième ordre. 

 par rapport à ceux du troisième. 



