IG 



RICERCHE GENERALI SOPRA I SISTEMI LINEARI DI CURVE PIANE 



Se in una trasformazione hirazionale ìa curva C {qualsiasi) c il gruppo A 

 del piano i hanno per corrispondenti la curva C* ed il gruppo A* di a*, i ca- 

 ratteri (k, p, D, k, p) di C rispetto ad A uguagliano i corrispondenti caratteri 

 di C* rispetto ad A*. 



9. Sistema aggiunto della curva trasformata. — Un altro tra i risultati del 

 n° 8 è utile raccogliere, e si rifeiisce al sistema aggiunto della curva che si ottiene 

 da C mediante una trasformazione hirazionale. Infatti, applicando ad una serie di 

 trasformazioni quadratiche successive le considerazioni fatte in fine del n° 8 si rico- 

 nosce che. 



Se C* è la curva di g* in cui si muta, la C di i mediante una trasforma- 

 zione hirazionale, ogni curva aggiunta a C* si scinde nella trasformata di una 

 curva aggittnta a G e nelle curve fondamentali dì a* che sono imagini di quei 

 punti fondamentali di c, le cui molteplicità virtuali per C valgono 0. 



10. Riduzione del gruppo A. — Il teorema del n° 8 ci autorizza a studiare 

 propriqtà riguardanti i caratteri di una curva C, sopra una curva C* trasformata 

 della C in una trasformazione bii-azionale, purché la C e la C* si riferiscano a due 

 gruppi A ed A* che si corrispondano nella trasformazione (n° 7) ; o, ciò che fa 

 Io stesso (n° 6, a), ai due gruppi A, J.* composti da quei punti di A, A* le cui 

 molteplicità virtuali superano 0. 



Ora, se alcuni punti di A sono a distanza infinitesima gli uni dagli altri, si può 

 sempre con una conveniente trasformazione hirazionale mutare la curva C in un'altra 

 C* per la quale il gruppo A^' si componga di punti a distanza finita l'uno dall'altro ('). 

 Si cerchino i caratteri di C * rispetto ad A* e si avranno in conseguenza i caratteri 

 di C rispetto ad A. Ne segue che in molte questioni si potrà, senza perdere in ge- 

 neralità, supporre a dirittura che il gruppo A rispetto al quale C è definita si com- 

 ponga di punti a distanza finita l'uno dall'altro, e ciò sarà sottinteso ogniqualvolta 

 non si dichiari il contrario. 



11. Serie di gruppi relative ad A sulle curve irriduttibili. — Sia C una 



curva irriduttibile riferita al gruppo A, ed in ogni punto di A per molteplicità vir- 

 tuale si assuma la corrispondente molteplicità effettiva. In tale ipotesi per un noto 

 teorema (~) sappiamo che le condizioni imposte dai punti di A alle ciu've aggiunte 

 d'ordine w — 3 (o superiore) sono linearmente indipendenti; sicché p — 1 dà pure la 

 dimensione effettiva del sistema aggiunto d'ordine w — 3 (rispetto ad A)\ dunque 



a) Per una curva irriduttibile il genere effettivo uguaglia il genere vir- 

 tuale; cosi potremo parlare di genere p di C (rispetto ad A), senz'altro. 



(1) rsuTHER, Ueber die singuldre Werthsysteme einer alg. Function (Math. Annalen Bel. 9); Ratio- 

 naie Ausfiìhrung der Operationen (Math. Annalen Bd. 23). — Bertini, Sopra alcuni teoremi fonda- 

 mentali delle curve piane algebriche (Rendiconti Ist. Lombardo, 1888). 



(2) Brili, e NoTHER, Ueber die algebraischen Functiotien. . . (Math. Annalen, 7, pag. 269). — Kòtheb, 

 Ueber die nichi-adjungirten Curcen (Math. Annalen, 13, pag. 518). 



