DI GUIDO CASTELNUOVO 



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Un sistema lineare di curve C d'ordine qualunque, le quali passino comunque 

 per i punti di A, ed inoltre 



1) siano assoggettate a passare semplicemente per r^O punti semplici di C, 



2) soddisfacciano (forse) a condizioni non provenienti dal passaggio per punti di C, 

 sega su C un sistema di gruppi di punti che chiameremo serie [lineare) di gruppi 

 rispetto ad A; se m{=C.G'—r) è il numero dei punti di ciascun gruppo e la 

 dimensione della serie, indicheremo la serie con gj. Diremo che la è completa 

 rispetto ad A, quando non è contenuta in una gj'^^ (serie anche questa rispetto 

 ad A). Una serie completa è individuata da un suo gruppo come si deduce dal 

 seguente teorema (il quale anzi offre il modo di costruire la serie, dato il gruppo). 



b) Un sistema lineare di curve aggiunte (rispetto ad A) d'ordine qualunque 

 soddisfacente alla condizione 1) e non alla 2), sega su C una serie completa ri- 

 spetto ad A; ogni altra serie che abbia con essa un gruppo comune è in essa 

 contenuta (l). 



12. Riprendiamo la definizione di serie di gruppi rispetto ad .4; ed osserviamo 

 che un sistema lineare aS' di curve d'ordine m, le quali debbano passare per mi punto 

 a multiplo secondo v per C con molteplicità v si ottiene imponendo alle curve d'or- 

 dine m che passano con molteplicità v — 1 per a le condizioni provenienti dal sem- 

 plice passaggio per i y punti infinitamente vicini ad a sui v rami di C. Segue adunque 

 del teorema h) del n° precedente che le curve d'ordine n che si comportano come C 

 nei punti di A, segano su C una serie completa ossia: 



Sopra la curva generica C [supposta irriduttihile) del sistema lineare [C], le 

 altre curve del sistema segano una serie completa (rispetto ad A) go~'^. 



13. Caratteri virtuali di una curva composta. — Ed ora supponiamo che la 

 curva C riferita al gruppo A sia composta; e C', C" siano due sue componenti 

 (semplici o composte) complementari (tali cioè che C^C'+C"). Se indichiamo con 

 k . . . i caratteri di C rispetto al gruppo J., con k'. . . , k ". . . i caratteri di C\ 

 C" rispetto al gruppo stesso, con I—C'.C" il numero delle intersezioni di G\ C" 



(1) Il teorema qui eauaciato, quando A contenga tutti i punti di C che hanno molteplicità supe- 

 riore ad 1 (nel qual caso la locuzione serie lineare assume il significato ordinario) non è altro che il 

 Restsats (v. Brill e Nòther, Memoria citata). Sotto ipotesi ancora più larghe di quelle fatte in questo 

 paragrafo il teorema b) fu dimostrato dal sig. Nòther nella Memoria Ueber die nicht-adjungirten 

 Curven (pag. 510), nella quale si troveranno pure dimostrati (sempre in casi più generali) i tre teoremi 

 che qui riunisco perchè ad essi ricorro nelle note ai numeri 14, 15. Negli enunciati ometto per bre- 

 vità l'avvertenza rispetto ad A dopo le parole serie, o curva aggiunta (avvertenza che diverrebbe su- 

 perflua se A contenesse tutti i punti multipli di C). 



c) Le curve aggiunte d'ordine n — 3 segano su G una serie ^ . 



d) Se è serie completa, si ha m — q ^ p ; quando m — q = p per un gruppo arbitrario della 



serie non si può condurre una curva aggiunta d'ordine n — 3, e reciprocamente ; sicché quando m>2p — 2 

 oppure quando q>p — 1 si ha certo m — q=:p se la serie è completa (m — q>p in caso opposto). 



e) Se invece m — q<p per un gruppo di passano oo ' '"^'^ curve aggiunte d'' ordine n — 3, 



m 



le quali segano su C una serie d'ordine 2p — 2 — ^ m, ed il sistema delle curve aggiunte d'ordine n — 3 

 passanti per un gruppo di quesV ultima serie sega su C la serie g^- primitiva. 



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