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RICERCHE GENERALI SOPRA I SISTEMI LINEARI DI CURVE PIANE 



rispetto ad A, partendo dalle formolo che ci definiscono i caratteri virtuali di una 

 curva, arriviamo subito alle uguaglianze 



(11) ... k=rk' + k" + i 



(12) ... prr:p'+p" + 7— 1 



(13) ... B = iy + D" + 2L 



Queste formolo si estendono immediatamente al caso di una curva C composta 

 di tre o più curve. In particolare se Ci, Cj , . . . (7, sono le componenti irridutti- 

 hili di (7, tra le quali alcune possono coincidere (se C ha qualche componente da 

 contarsi più volte), adottando notazioni analoghe alle precedenti e ponendo ora 



(dove la somma va estesa alle combinazioni binarie m n dei numeri 1 , 2 ...?'), si trova : 



(11) '... k = ki + k,+ . . . +k,+ J 



(12) '... P = Pi+Pj + . . . + P, + 1 



(13) '... D = Z)i + A + - • • + ^ + 2/ 



14. Dimensione effettiva appartenente ad una curva composta. — Segue 

 subito dalla definizione che 



La dimensione effettiva appartenente ad una curva composta uguaglia a supera 

 la somma delle dimensioni effettive appartenenti alle curve componenti. Se C è la 

 curva composta e Ci, C^. . . sono le curve componenti, e di più si suppone che 

 la curva generica del sistema [C] si spessi in i curve appartenenti ai sistemi 

 [Ci], [Ci] . . . [Ci], allora tra le dimensioni effettive le , hi, Jc^ . . . ki passa l'uguaglianza 



k = ki + Jì3 + . . . + k, ; 



viceversa se sussiste questa uguaglianza tra le dimensioni effettive appartenenti ad una 

 curva composta C e alle componenti Ci, C^ . . . Ci , la curva generica di [ C] si 

 scinde in i curve appartenenti ai sistemi [Ci]. [Cj] . . . [C,] E ciò, se Cj, C,. . . C, 

 sono le componenti irriduttibili di C, è possibile soltanto (2) nei due casi che 



1) i — \ fra le dimensioni ki, kt,. . ., ki siano nulle, 



2) oppure quelle tra le dimensioni che sono diverse da zero, siano uguali ad uno, 

 e le curve componenti a cui esse appartengono siano elementi di uno stesso fascio (3). 



(1) Nelle ipotesi qui fatte la dimensione effettiva del sistema [Ci + CJ è Ai + ft^; ne segue che se 

 [C,] e [Cj] sono sistemi regolari (,6 q\iindi /%i=ki , ^2—^2) si ha Ci. Cj^O, giacché in caso opposto, 

 per la formola (11) la dimensione virtuale e (a più forte ragione) la dimensione effettiva di 

 supererebbe + Da ciò il teorema: Se la curva generica di un sistema [C] si scinde in curve 

 appartenenti ai sistemi regolari [C,], [CJ . . . [Ci], le curve generiche di due sistemi diversi tra questi 

 hanno nessuno infiniti punti in comune (rispetto ad A). 



(2) Per un noto teorema del sig. Bertini contenuto nella Nota Sui stóemt imeart (Rendic. Istituto 

 Lombardo, 1882, pag. 24). 



(3) Un limite superiore alla dimensione eSèttiva k di un sistema lineare [C] una cui curva (par- 

 ticolare) C si spezzi, si ottiene mediante le seguenti considerazioni. Sia una componente irridut- 

 tibile di C, la quale componente non sia contiinuta nella componente complementare C; si avrà 



