DI GUIDO CASTELNUOTO 



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16. Genere effettiTO di una curva composta. — Consideriamo una curva com- 

 posta C = C + C" e siano , p', i generi effettivi della curva composta e delle 

 due componenti , le quali per ora possono esser semplici o composte, aventi infiniti 



punti comuni, oppur no . . . 



Dalla stessa definizione di curva aggiunta segue che ogni curva aggiunta a C 

 (quando esista) insieme a C", dà una curva aggiunta a C ; quindi intanto si con- 

 chiude che 



a) lì genere effettivo di una curva composta non è mai inferiore al genere 

 effettivo di una componente. 



Consideriamo ora entro al sistema lineare S ooP-^ delle curve aggiunte a C, 

 il sistema lineare S' formato dalle curve aggiunte a C prese insieme con C", ed 

 il sistema lineare S" formato dalle curve aggiunte a C" prese insieme con C. Se 

 C' e C" non hanno infiniti punti comuni, non esiste nessuna curva di S', la quale 

 sia tutta contenuta in S" ; sicché, essendo p'—ì,p"-^l le dimensioni di S' ed S" 

 (che sono sistemi minori entro ad S), si ha 



iP'-lì+ip"- 1)<1'-1 



dunque 1 — C'.C"^0. Le curve di [C] segano su C una serie di gruppi g rispetto ad A il cui 

 ordine è 



I gruppi di questa serie che contengono le / intersezioni di C e C" si scindono nelle / inter- 

 sezioni e nei gruppi di una serie gjy la cui dimensione non è inferiore a q' — /. In questa serie 



è certamente contenuta la g che su C segano le rimanenti curve di [C^; ma poiché quest'ultima 



serie è completa (n° 12), deve essere 



ossia 



a) q'^k' + I—i. 



Ora si osservi che una delle oo^- curve di [^] , la quale contenga 1 punti arbitrari di Cd ève 

 scindersi in C ed in una delle oo*" curve di [C^^^ ; dunque 



k — q'—\ = h", 



donde per la aj 



k^h' + k" -\- 1. 



Ripetendo più volte questo ragionamento (che andrebbe lievemente modificato nel caso estremo h''=zO), 

 si conchiude: 



5e Cj , Gj . . . Cj sono curve irriduttibili distinte componenti una curva G, ed J è il numero totale 

 delle loro intersezioni a due a due, tra le dimensioni effettive appartenenti alla curoa composta e alle 

 curve componenti passa la relazione 



Se ora supponiamo che i sistemi [CJ, [C2] . • . [Q], siano regolari per modo che risulti 



hi — kj , — ^2 , • • • — kj. , 



vediamo che il secondo membro dell'ultima disuguaglianza non diflerisce dal secondo membro della (liy, 

 quindi A^k, nella quale però si deve necessariamente prendere il segno =, perchè la dimensione 

 effettiva non è mai inferiore alla dimensione virtuale (n" 2): dunque finalmente 



A = k. 



Se di più si osserva che nelle fatte ipotesi le relazioni a) relative alle curve C, , Cj . . . C,- devono 

 ridursi ad uguaglianze, si giunge al teorema: 



Se C, , Cj . . . C; sono curve irriduttibili distinte componenti una curva C, ed i sistemi [C J, [CJ. . . [CJ 

 sono regolari, è regolare anche il sistema [C] ; e sopra ciascuna componente le curve di [C] segane 

 una serie completa (rispetto ad A;. 



