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RICERCHE GENERALI SOPRA I SISTEMI LINEARI DI CURVE PIANE 



ossìa 



Applicando più volte questa disuguaglianza si giunge al teorema 



b) Più curve (semplici o composte) fra le quali non si trovino dite aventi 

 infiniti punti comuni, danno luogo ad una curva composta il cui genere effettivo 

 non è inferiore alla somma dei generi effettivi delle componenti. 



Come corollario: 



c) Due curve le quali non abbiano infiniti punti comuni, e non si seghino 

 (rispetto ad -4), danno luogo ad una curva composta il cui genere effettivo supera 

 il genere virtuale. Infatti se C (di generi p\ p'), C" (di generi pi', p") sono le due 

 componenti, si ha per ipotesi C'.C"=0 e quindi, per la formola (12), 



p = p' + p"— 1 



ci dà il genere virtuale della curva composta C = C' + C". D'altra parte, per il teo- 

 rema b), se p è il genere effettivo di (7 si ha 



p^p'+p", 



ed essendo (n° 3) p'^v'- p"='P" risulta 



P>-p . 



La stessa proposizione si può enunciare sotto altra forma se si introduce la 

 nozione di curva connessa, che in molti casi permette di abbreviare il discorso. Una 

 curva composta dicesi connessa se ciascuna delle sue componenti (iiriduttibile o no) 

 ha colla componente complementare o infiniti punti comuni, od almeno una interse- 

 zione rispetto ad A. 



Cosi la c) ci permette di affermare che 



c') Una curva composta il cui genere effettivo uguagli il genere virtuale^ è 

 necessariamente connessa 



(1) II concetto di curva connessa fondamentale quando si voglia costruire una teoria delle curve 

 composte nell'indirizzo qui seguito) rivela la sua importanza in alcuni teoremi che sono di comple- 

 mento alle proposizioni a), 6) e c) e costituiscono una estensione di alcune proposizioni sulle curve 

 composte date dal sig. Nòther nella Nota: Veber die reductiUen algebraischen Curven (Acta Mathem. 8). 



Sia C una curva connessa le cui componenti irriduttibili C^, €.^...0^ siano tutte distinte fra 

 loro, e supponiamo queste componenti così ordinate che indicando con 7^ il numero delle intersezioni 

 rispetto ad A di Cy^ colla curva iC|^_^.^ + C^^, + . . . + C^j risulti 



7a>0 per /i=i,2,.... i-1; 



(un tale ordinamento è sempre possibile come è facile vedere) ; per convenzione poi porremo 



I. — O. 



Siano Pi , p2 » • • • P, (= Pi > Pa ^ ■ • • P,- per il n° «) ) i generi di C^, . . . C. . Sulla curva 

 (h=\,Z . . .i) le curve aggiunte a (Cf^-\-C|,^^ 4- .. . + C,) segano una serie g, alla quale apparten- 

 gono i gruppi formati dagli 7^ punti comuni a e (C/,^i + .. . + C,) insieme coi gruppi della serie 

 (d'ordine 2pi^ — 2 e dimensione — 1) segata su C^^ dalle proprie curve aggiunte; ne viene che l'or- 

 dine di ^ è dato da 



