DI GUIDO CASTELNUOVO 



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16. Una lemma sui sistemi riduttibili. — Può spesso giovare nello studio 

 dei sistemi lineari la seguente osservazione (di cui ci serviremo al n" 30). 



Sia [C] il sistema lineare costituito dalle curve d'ordine n che passano colle 

 molteplicità virtuali assegnate , v,. . . . per i punti , . . . costituenti il 

 gruppo ^ ; e sia [F] un sistema di curve dello stesso ordine n passanti colle stesse 

 molteplicità virtuali , Vj . . . per h punti «i , . . . a,, costituenti il gruppo a ; 

 chiameremo [F] imagine di [C]. Per definizione, i caratteri virtuali di [C] rispetto ' 

 ad A uguagliano i corrispondenti caratteri virtuali di [F] rispetto ad a: mentre può 

 avvenire che analoghe uguaglianze non sussistano fra i caratteri effettivi dei due 

 sistemi (rispetto ai loro grappi). Però se il sistema [C] è regolare , sarà regolare 

 anche il sistema [F] in generale, quando cioè tra i punti di a non passino parti- 

 colari legami; ed in quest'ultima ipotesi, se il genere effettivo di [C] uguaglia il 

 genere virtuale, altrettanto accadrà per [F]. 



Ciò posto, supponiamo ora che il sistema [C] avente la dimensione virtuale 1, 

 ed il genere effettivo uguale al genere virtuale , presenti la particolarità che la sua 



mentre la dimensione soddisfa (n° 11, n(?fa a pie di pagina, d)) alla relazione 



^ r,^^p,^-2 + l^ per h=i.2...i-i 

 I r.=p.-i. 



Sommando le i relazioni qui compendiate, risulta 



13) r^ + r^+ . . . -\-r.^Pi+ . . . -\-p.-2i + ì+J 



dove J è il numero totale delle intersezioni a due a due delle componenti irriduttibiii di C. 



Se ora ad una curva aggiunta a (Cj+ . • • + C,) si impongono le '"^ + 1 condizioni di contenere 

 r^+1 punti indipendenti di C/^, la curva aggiunta deve scindersi in ed in una curva aggiunta 

 a (<?A+i+ . • . +C,) ; e ad ognuna di queste ultime curve aggiunte si deve pervenire partendo da tutte 

 le curve aggiunte a (C^ + . . . + C,). Ripetendo più volte questa osservazione si riconosce che quelle 

 tra le ocf~^ curve aggiunte a C, che soddisfanno alle condizioni di contenere 



(r, + l) + (r,+ l) + ...+(r,_i +l) = (n + >-5---+'".--i)+'-l 



punti scelti su Cj, 0^. . . C-_^, si scindono nella curva (Ci+ + • • • + ^ "elle curve aggiunte 

 a C. ; sicché avremo 



p — 1 — (/•j+r2+ • . • — («■ — 1 = ^,- . 



ossia 



y) p=''i+ ^2 + • • • +^, + » ' 



e per la |3) 



P^Pl4-P2 + . . + J — i + 1. 



Ma il secondo membro per la uguaglianza (12/ vale p (genere virtuale di C), dunque /)Sp. In questa 

 relazione però non si può prendere il segno < per il n° 3; abbiamo quindi l'uguaglianza 



e risalendo alle relazioni precedenti riconosciamo che la a) deve scriversi 

 «r r^=p^-2 + l^ {h = i,2...i-i). 



Le due ultime uguaglianze dànno luogo al teorema : 



d) Una curva composta connessa C (priva di componenti multiple) ha il genere effettivo uguale 

 al genere virtuale ; e su ciascuna componente semplice di C le curve aggiunte a C segano una serie 

 completa (rispetto ad A). 



Quanto alle curve non connesse , con un ragionamento poco diverso da quello ora indicato , si 

 giunge al teorema : 



e) Sia C una curva non connessa priva di componenti multiple , e siano C, C . . . C''^ curve 

 (semplici composte) che insieme costituiscono G e non hanno a due a due intersezioni, rispetto ad A; 

 il genere effettivo di C uguaglia la somma dei generi effettivi di C, C'', . . . C^'^ . 



