22 RICERCHE GENERALI SOPRA 1 SISTEMI LINEARI DI CLRVE PIANE 



curva generica C si spezzi nelle curve irriduttibili C, , Cj . . . C, (brevemente, il si- 

 stema sia rìdtdtihile). Allora, poiché C deve esser connessa (n° 15, c)), per la prima 

 nota al n ' 14 uno nììiieno dei sistemi [d], [Cj] . . . [C,] sarà sovrabbondante. Se 

 ora si scelgono i punti y.i , «j . . . k,. in modo che essi presentino condizioni tutte 

 indipendenti ad ogni curva irriduttibile d'ordine che passi una o pili volte 

 per essi, il sistema oo'' [P], imagine di [C], risulterà necessariamente irriduttibile 

 (cioè avrà la curva generica irriduttibile). E si badi che la scelta del gruppo a 

 può farsi in infiniti modi , anzi, poiché a noi basta che i punti di c/. non siano sog- 

 getti a certi legami, traducentisi in un numero finito di equazioni fra le loro coordi- 

 nate, potremo dire che a è un gruppo generale di h punti del piano. Così giungiamo 

 al teorema : 



Se le curve d'ordine n che passano colle molteplicità virtuali , Vj . . . v,, per 

 certi h punti del piano, formano un sistema riduttibile di dimensione virtuale =1, 

 avente il genere effettivo uguale al genere virtuale, le curve d'ordine n passanti 

 colle molteplicità virtuali Vi, . . . per h punti presi in posizione gnurale 

 nel piano, formano un sistema irriduttibile. 



CAPITOLO II. 

 Sistemi irriduttibili. 



17. Nei paragrafi precedenti sono considerati insieme sistemi lineari di curve 

 riduttibili e irriduttibili , ed i caratteri e le proprietà viste per questi sistemi sono 

 relative ad un certo gruppo di punti A per i quali passano tutte le curve del si- 

 stema. Ora invece mi limito a studiare i sistemi ii-riduttibili ; e fisserò il gruppo A 

 in modo da ottenere proprietà e caratteri collegati in modo assoluto col sistema. 



Indichiamo ancora con [C'] il sistema lineare costituito da tutte le curve d'ordine n 

 che sono assoggettate a passare con date molteplicità per punti assegnati nel piano; 

 siano almeno oo' le curve C di [C] e la curva generica del sistema sia ii'riduttibile. 

 In queste ipotesi i punti comuni a tutte le curve di [C], o punti base di [C], sono 

 in numero finito ; il gruppo costituito da tutti i punti base si dirà gruppo base del 

 sistema, e si indicherà con A ; ad esso intenderemo riferite le singole curve di [C]. 

 La curva generica C del sistema , considerata indipendentemente dal sistema , ha in 

 ciascun punto base a di A una certa molteplicità v che si può sempre determinare 

 (ricorrendo, ove occorra, ad una conveniente trasformazione birazionale per separare 

 punti infinitamente vicini) ; questo numero v noi assumiamo come molteplicità del 

 sistema nel punto base a. Cosi possiamo dire che v è la molteplicità sia vii-tuale , 

 sia efifettiva della curva generica di [C] in a, mentre per una c\iv\a. particolare Ci 

 di [C] la molteplicità effettiva in a può superare v (nel qual caso v dovrà dirsi 

 molteplicità virtuale di C,). 



Stabilendo in questo modo e il gruppo J. e le molteplicità v, veniamo a rendere 

 indipendente dal nostro arbitrio la relazione fra sistema lineare e gruppo A di 



