DI GUIDO CASTELNUOVO 



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riferimento (il che non poteva dirsi à rigore nel Capitolo I) ; perciò quando parle- 

 remo di caratteri di [C] potremo sopprimere le parole rispetto al gruppo A. 

 I caratteri di [C] (o, ciò che fa lo stesso, i caratteri di una curva qualunque del 

 sistema rispetto ad A), sono adunque : 



la dimensione virtuale k data dalla (1) quando ad e v si attribuiscano 

 i significati ora stabiliti ; 



la dimensione effettiva k , definita al n° 2 , la quale come ho già detto si 

 supporrà superiore a ; 



il genere p (virtuale = effettivo per il n° 11, a)), dato dalla (3), il quale è 

 ora il genere della curva generica C nel senso comunemente adottato (poiché, come 

 è noto, questa curva non ha punti multipli all'infuori di A)\ 



il grado D, numero dei punti variabili comuni a due curve del sistema, che 

 si può calcolare mediante la (4). 



Questi caratteri godono proprietà invariantive in qualunque trasformazione bira- 

 zionale come risulta dal n° 8, e come d'altra parte per alcuni di essi {Jc, p, D) è 

 addirittura evidente nelle ipotesi più ristrette, qui fatte. 



Nello studio del sistema [C] accadrà però spesso di incontrare sistemi lineari 

 [d] legati con [C] e che si riferiranno al gruppo base A di [C]. Siccome può darsi 

 che il gruppo base di [Ci] non coincida con A, così, in questo caso, non sarà più 

 superfluo parlare dei caratteri di [Ci] rispetto ad A (nel senso del Gap. I), i quali 

 potranno differire dai caratteri di [CJ rispetto al proprio gruppo base Ai (nel senso 

 del presente paragrafo). 



18. Serie caratteristica. — Oltre alla considerazione dei numeri (caratteri) che 

 hanno con [C] relazioni invariabili per trasformazioni birazionali, è fondamentale per 

 noi lo studio di quegli enti che si possono ottenere da [C] colle stesse leggi con cui 

 gli enti trasformati possono ottenersi dal sistema trasformato di [C]. 



Tra questi enti il primo a presentarsi è la serie gD~^ che sulla curva generica O 

 segano le rimanenti curve di [(7] ; alla quale serie daremo il nome di serie carat- 

 teristica del sistema , per lo stretto legame che essa ha col sistema. E senz'altro 

 evidente, che se si opera una trasformazione birazionale sul piano di [C] , la ^o*~* 

 si muta nella serie che sulla curva trasformata di C segano le curve del sistema 

 trasformato. 



La serie caratteristica di un sistema lineare è completa (in senso assoluto , 

 cioè non solo rispetto ad A) ; infatti questa proprietà fu dimostrata in un caso più 

 generale nel n° 12 (1). Segue subito la disuguaglianza 



B-h+l^p 

 la quale è aache conseguenza della ZcSk e della (5). 



(1) Aazi ia virtù del ragioaameato fatto al n» 12 , si può dire più in generale che le curve di 

 dato ordine qualunque, le quali passano con molteplicità v o v — 1 per ogni punto v-uplo di C (ad es. 

 colla molteplicità ■i^ nel punto multiplo secondo Vj , \ — 1 nel punto multiplo secondo vj, ecc.) segano 

 su C una serie completa (in senso assoluto). 



