24 RICERCHE GENERALI SOPRA I SISTEMI LINEARI DI CURVE PIANE 



Segue pure dalla (5) che quando 



D-{Jc-ì)=p, 



quando cioè la serie caratteristica è non speciale (nel senso di Brill e Nòther), allora 



s = Z; — k=0, 



e viceversa ; quindi il notevole teorema : 



Un sistewa lineare è regolare o sovrabbondante (n°. 2) secondo che è non 

 speciale o spicciale la sua serie caratteristica. 



19. Parecchi corollari discendono dall'ultimo teorema. 



Intanto poiché una serie speciale sopra una curva di genere ha l'ordine ^2p — 2 

 e la dimensione <|) — 1, segue: 



Se il grado di un sistema lineare supera 2p — 2 (oppure se la dimensione 

 effettiva supera p) il sistema è regolare, teorema dovuto al Sig. Segre, il quale lo 

 dimosti-ò colla via qui tenuta W\ come casi particolari si ottengono due teoremi dati 

 anteriormente dal Sig. Guccia (2). 



Sia ora so\Tabbondante il sistema [C] e quindi speciale la serie gj'~^': per una 

 nota proprietà delle serie speciali (•^) 



D^2{k- 1) , 



nella quale va preso il segno =, quando Jc = p, oppure quaudo la curva C 



è iperellittica, e in questi soli casi. L'ultima relazione in virtù della (5) diventa 



k 1^ 2A - 2 



ossia 



(14) . . . s^_p—7c + l , 



la quale dà luogo ai teoremi: 



In un sistema lineare di curve non iperellittiche la sovrabbondanza non può 

 superare la differenza fra il genere e la dimensione effettiva, quando questa è 

 maggiore di 1 e minore di p. 



In un fascio di cwrve la sovrabbondanza uguaglia . il genere (proprietà nota). 



In un sistema lineare sovrabbondante di curve iperellittiche di genere p, il 

 passaggio di una curva per un punto arbitrario del piano porta di conseguenza 

 il pafisaggio per un altro punto determinato dal primo; e la sovrabbondanza del 

 sisteìna uguaglia p — k + 1 . 



(1) Sui sistemi lineari (Rendic. Circolo Matem. di Palermo, t. 1). Dal I teorema di Segre ora 

 citato segue subito il II teorema: In un sistema lineare di dimensione superiore a p+1 il passaggio 

 di una curva per un punto arbitrario del piano non trae di conseguensa il passaggio per altri punti 

 determinati dal primo. 



(2) Sur une question concernant les points singuliers . . . (Comptes-iendus, t. CHI). 

 GeneralÌ3sa3Ìone di un teorema di Nolher ; Sulla riduzione dei sistemi lineari di curve ellittiche 



(Rendic. Circolo Matem., t. I) 



(3) Questo teorema è dovuto a Clifford (On the Classification of Loci, Philos. Trans., 1878); lo si 

 troverà riportato con altre dimostrazioni in una Nota di Seghe (Rendic. Istit. Lombardo, 1888) ed in 

 una mia (Atti Accad. delle Scienze, Torino 1889). 



