DI GUIDO CASTELNUOVO 



25 



20. Se la sovrabbondanza s del sistema [C] supera , ogni gruppo della serie 

 caratteristica che giace sulla curva generica C presenta (per il teorema di 



Kiemann-Roch) 



condizioni ad una curva d'ordine n — 3 aggiunta a C (o, ciò clie fa 'lo stesso, aggiunta 

 a [CJ) che debba contenere quel gruppo. Le curve aggiunte che soddisfanno a queste 

 condizioni segano su C una serie ^ _^ che si dirà la, residua della serie carat- 

 teristica. 



La serie residua della caratteristica può contenere punti fissi, cioè possono esi- 

 stere su C alcuni punti i quali appartengano a-l ogni gruppo della serie residua. Se 

 consideriamo a di questi punti, il gruppo formato da essi con un gruppo della 

 presenta solo D — (^— 1) condizioni ad una curva aggiunta a [C] che debba conte- 

 nerlo, e quindi esiste su C una serie completa 5'*^'^ ' che contiene la gD''~^\ reci- 

 procamente se la serie caratteristica su C è contenuta in una serie g ^^"^ ' com- 

 pleta, la serie residua della caratteristica possiede 7 punti fissi. Da questa osservazione 

 segue che se un punto base a. semplice per C, non è conseguenza dei rimanenti punti 

 base, sicché esiste un sistema oo*+' di curve d'ordine n che si comportano come C 

 in tutti gli altri punti base di [C], la serie caratteristica sopra C è conte- 



nuta nella serie corììpleta ^*£>+i che su C segano le curve del sistema oo*+* ; e 

 quindi ogni curva aggiunta a [C] la quale passi per le D intersezioni variabili di 

 due curve di [C], viene in conseguenza a passare per a. 



Piti in generale il punto a sia r.uplo (ordinario) per [C], e siano precisamente 

 r le condizioni indipendenti che si devono imporre alle curve d'ordine n le quali si 

 comportano come C nei rimanenti punti base di [C] ma passano r — 1 volte pera, 

 affinchè esse vengano a passare con r rami per a. In altre parole che esista un sistema 

 [Ci] 00*+ d'ordine n avente le stesse molteplicità base di [C] tranne che in a, dove 

 la molteplicità sia r — 1, anziché r. Dico che a è punto r . uplo per ogni curva 

 aggiunta a [C] che contenga le D intersezioni variabili di due curve di [C]. Infatti 

 le curve di [Ci] segano su C una serie completa g alla quale appartengono i 



gruppi della serie caratteristica di [C] gD~'^ presi insieme cogli r punti di C infi- 

 nitamente vicini ad a sugli r rami. Ne viene che questi r punti appartengono ad 

 ogni curva aggiunta a [C] che passi per un gruppo di gD~'^., ossia che ognuna di 

 queste curve aggiunte ha un punto r.uplo in a. Dunque: 



Se un sistema 00* [C] d'ordine n ha il piente base a come r.uplo ed esiste 

 un sistema 02''+'' d'ordine n le cui curve passano soltanto r — 1 volte per a, ma 

 si comportano come C negli altri punti base, ogni curva aggiunta a [C] che passi 

 per le intersezioni variabili di due curve di [C] ha un punto r.uplo in a; e reci- 

 procamente; se ogni curva aggiunta a [C] che passi per le intersezioni variabili 

 di due curve del sistema ha un punto r.uplo in un punto r.uplo del sistema^ 

 allora esiste un sistema 00*+'', ecc. Quest'ultima parte si dimostra senza difficoltà, 

 rifacendo a rovescio il ragionamento precedente. 



Serie 11. Tom. XLIL 



D 



