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RICERCHE GENERALI SOPRA I SISTEMI LINEARI DI CURVE PIANE 



21. Sistemi resìdui. — Nei paragrafi seguenti, quando non si dica il contrario 

 si ritiene esclusa la ipotesi che due punti base di [C] cadano infinitamente vicini; 

 in altre parole si suppone che i punti base del sistema siano punti multipli ordinari, 

 con tangenti variabili da curva a curva del sistema. 



Insieme al sistema [C] definito rispetto al gruppo base A mediante l'ordine n 

 e la molteplicità v (effettiva = virtuale) di C nel punto base generico a, consideriamo 

 un sistema [C'J (almeno x>o") costituito da tutte le curve d'ordine n' <.n che sono 

 assoggettate a passare colle molteplicità (virtuali) v'i, v'j . . . v*/, (^ 0) per i punti base 

 di [C]; molteplicità tali che in ogni punto base a sussista la relazione v'^v. 



Se ora esiste un sistema [C "] (almeno oo°) costituito da tutte le curve d'ordine 

 n — ti' che sono assoggettate a passare colle molteplicità virtuali — v'j , — v'j, . . . 

 Vj — y\ per i punti base di [C], avverrà che ogni curva di C insieme ad ogni curva 

 di C" formerà una (particolare) curva di [C], ed anzi ciascuno dei due sistemi sarà 

 costituito da tutte le curve che insieme alla curva generica delV altro danno curve 

 di [C]. Due sistemi che si trovino in queste ultime condizioni si diranno residui Vuno 

 delV altro rispetto a [C] (^). 



Definito nel modo indicato il sistema [C] , sono pienamente determinati i ca- 

 ratteri virtuali k' , p' , D ' del sistema rispetto ad A , come pure risulta fissato il 

 numero delle intersezioni (rispetto ad ^) di C e C" , 



C.C' = A'. 



Se poi con questi numeri vogliamo procurarci la dimensione virtuale (l'ispetto 

 ad A) del sistema residuo la cui curva generica è C" {n — w', v — 1/%, troviamo 



k"= J j {n-n!) (»-w'+3) — 2 {v-v') (i. — v'+l)( 



ossia 



a) k" = k-A' + p'— 1 



(dove k è, secondo il solito, la dimensione virtuale di [C]). Dunque intanto : Se il 

 sistema [C'j non ammette sistema residuo rispetto a [C] , sussiste la relazione 



k^A'-p'. 



Se invece si ammette che esista il sistema residuo [C' ' ] i cui caratteri, rispetto 

 ad A, siano k", p", Z)", e si pone 



C.(7"= A", 



si trova subito 



A'+A"izzD, 



ed inoltre 



A' = C". (C"+ C") ==iy + C'. C" da cui 



(1) Si noti che in questa defiaizione di sistemi residui non si fa più cenno delle molteplicità vir- 

 tuali che si attribuiscono ai punti base dei due sistemi, sicché si può parlare di due sistemi residui 

 anche prima di averne fissato le molteplicità virtuali ; ma risulta evidente dalle cose dette che dati 

 due sistemi residui rispetto a [6'], per uno (qualunque) di essi si possono scegliere le molteplicità vir- 

 tuali v,', vjj'. . . in A, in guisa che (il sistema sia completamente definito ed inoltre) risulti in ogni 

 punto base /^v. La scelta potrà talvolta farsi in piìi modi; uno tra questi è di assumere come 

 molteplicità virtuale / del sistema nel punto base a, la molteplicità effettiva del sistema stesso in a, 

 se questa non sup'?ra v, e di prendere nel caso opposto v' = v. 



