DI GUIDO CASTELNUOVO 



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(15) ... C'.C"=A'-D' = A"— D". 



Applicando ora alla curva composta C = C' + C" la formola (12) del n° 13, 

 troviamo 



p = p' + p" + A'- D'-l, 

 la quale in virtù della relazione (5) del n" 4 (applicata alla C) ci dà 



(16) ... p— p"=iA'— k', 

 mentre dalla c/.) deduciamo 



(17) ... k— k"= A'-p'+ 1. 



Quanto ai caratteri effettivi di [C], [C] mi limito ad osservare che tra le 

 dimensioni effettive k, A/, h" di [C] e dei due sistemi residui deve sussistere la disu- 

 guaglianza (n° 14, a)) 



La differenza k — kl dà il numero delle condizioni che si devono imporre ad una 

 curva di [C] aflinchè essa si scinda in una curva fissata di [C"] ed in una curva di 

 [C"]. Questo numero k—k! può dirsi la valenza (o la postuìasione) di C" rispetto 

 a [C]. Se esso è uguale ad 1, nel qual caso diremo C" monovalente, le curve di 

 [C] non possono segare C" fuori dei punti base; e k"<zk — k! deve esser uguale azero. 



22. Curve fondamentali. — Una curva (semplice o composta) la quale non 

 sia segata in punti fuori del gruppo base A dalla curva generica C del sistema [C] 

 dicesi curva fondamentale del sistema. Dalla definizione segue subito che l'insieme 

 di due curve fondamentali è ancora una curva fondamentale , e reciprocamente è 

 fondamentale ogni componente di una curva fondamentale. 



La dimensione effettiva appartenente ad una curva fondamentale (dimensione 

 rispetto ad A) è nulla, eccettuato il caso in cui il sistema [C] sia un fascio , e 

 la curva fondamentale contenga una curva del fascio. Infatti se esistesse un fascio 

 di curve F tutte fondamentali per [C], la curva F passante per un punto della 

 curva generica C, dovrebbe contenere tutta la C (che per ipotesi è irriduttibile), sicché 

 C sarebbe curva fondamentale di [0]; ciò è possibile soltanto se i)=:0, nel quale 

 caso [(7] è un fascio. Se poi [C] è un fascio, l'insieme di quante si vogliano curve 

 del fascio costituisce una curva fondamentale di [C]. 



Una curva fondamentale irriduttibile forma parte di ogni curva di [C] che ne 

 contenga un punto ; il sistema residuo della curva fondamentale ha la dimensione 

 effettiva ^ - 1 e la curva stessa deve dirsi monovalente. Più in generale (se si bada 

 alla definizione del n° 1 5) si riconosce che ogni curva connessa (rispetto ad A) senza 

 componenti multiple, la quale sia fondamentale per [C], è monovalente. Non è 

 vero però il teorema reciproco (^). 



(1) Ad es. il sistema oo* delle curve di quinto ordine [cfi, b(^, b^, c, , . . . Cg] , i cui punti base 

 a, &i , b^, Cj , Cj...Cg costituiscono il gruppo base di un fascio di cubiche, ha come curva fondamen- 

 tale monovalente la curva non connessa costituita dalle due rette aby , ab^ . 



