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28 RICERCHE GENERALI SOPRA I SISTEMI LINEARI DI CURVE PIANE 



23. Genere effettivo di una curva fondamentale. — Nel seguito, parlando 

 di una curva fondamentale F (d'ordine m colla molteplicità effettiva y. nel punto 

 generico a di A), si supporrà che esista un sistema re-^iduo [C,] almeno 00°, (in altre 

 parole si tratterà soltanto di quelle curve fondamentali che hanno la valenza non 

 superiore a le). 



La curva composta Cj+i* è una curva di [C]; essa quindi sega la curva ge- 

 nerica C del sistema (oltre che 2v* punti contenuti in A) in un gruppo Gu della 



A 



serie caratteristica .9//"' (^). Le curve d'ordine m — 3 aggiunte ad (passanti — 1 

 volte per n) costituiscono prese insieme con un sistema di curve d ordine n — 3 

 aggiunte a C e passanti per Gd, sistema che ha la dimensione effettiva Pf — 1 se 

 Pf è il genere effettivo di F(m,ij.)^. Ma fu già osservato (n° 20) che per un gruppo 

 della serie caratteristica passano soltanto oc'~* curve aggiunte a C; quindi 



donde il teorema: 



a) Il genere effettivo di una curva fondamentale non può superare la so- 

 vrabbondanza del sistema. 



Merita di essere esaminato il caso in cui il genere effettivo pf raggiunge il suo 

 massimo valore s. Allora ogni curva d'ordine n — 3 aggiunta a [C] la quale passi 

 per Gp, si scinde in Ci ed in una delle curve F' d'ordine m — 3 aggiunte ad F. 

 Ora questa curva Ci + F' ha la moltiplicità v in ogni punto base v . uplo di [C] 

 il quale non appartenga ad F (se un tal punto esiste). Dunque la serie residua della 

 caratteristica ha v punti fissi intorno a quel punto base (e la dimensione effettiva 

 del sistema aumenta di v se alle curve di [C] si impone di passare colla moltepli- 

 cità y— 1 anziché v per quel punto base; n'' 20). L'enunciato di questo teorema, 

 sotto la forma a noi più utile, è il seguente : 



b) Se il sistema lineare [C], per cui la serie residua della caratteristica 

 non ha punti fìssi, possiede una curva fondamentale di genere effettivo uguale 

 alla sovrabbondanza del sistema, questa curva contiene ogni punto base del sistema. 



24. Caratteri virtuali di una curva fondamentale. — Sia ancora F [m, ij.)^ 

 una curva fondamentale la quale ammetta il sistema residuo [Ci] (almeno 00°). Per 

 evitare complicazioni supporremo che la molteplicità effettiva ju di JP in ogni punto 

 base a di [C] non superi la corrispondente molteplicità v di [C] (2); nella quale 



(1) Noa è escluso che alcuni punti di cadano in punti di A; così se ad es. nel punto base a 

 la curva C, + F ha la molteplicità anziché v, allora ve punti di cadono in a; ma in tal caso 

 la curva composta di e di una curva aggiunta sd F ha la molteplicità ■■' + e — 1 (almeno) in a, e 

 quindi tra le 2/; — 2 sue intersezioni con C si trovano i v£ punti nominati di G^ , sicché tutto il 

 ragionamento continua a sussistere. 



(2) La ipotesi qui fatta non costituisce una restrizione nel caso di curve fondamentali monova- 

 lenti. Risulta infatti da una osservazione del sig, Bertini [Sulle cune fondamentali.... Rendiconti 

 Circolo .Matem. di Palermo, t. Ili) che una curva fondamentale monovalente ha in ogni punto base a, 

 di [C] una moltiplicità effettiva ij. non siip'jriore alla molteplicità v di (7, e che inoltre la curva ge- 

 nerica del sistemi residuo [CJ ha in a la molteplicità effittiva -j — ,a ; ciò nella ipotesi, già fatta, che 

 i punti base di [C] siano punti multipli ordinari. 



