DI GUIDO CASTELNUOVO 



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ipotesi, in relazione con quanto abbiamo detto al n" 21, assumeremo (i come mol- 

 teplicità virtuale di 1^ in a, e in conseguenza v — [j. come molteplicità virtuale di 

 [Ci] in a. 



Avremo per definizione, 



C . F = nm — Ivfj. = 

 C.Ci = D; 



in virtù di queste relazioni le formolo (15), (17), (16) del n° 21 (se indichiamo 

 con kj, Pi, Di i caratteri virtuali di Ci e con k/. P/, Df i caratteri virtuali di 

 F rispetto ad A) diventano: 



(18) ... Ci.F=-Dr, 



k~k, = -p/+ 1, 

 P— Pi = -k/; 



le due ultime possono scriversi 



(19) ... p^ = ki-k+l 



(20) ... k/ = p, -p 



Le (18), (19), (20) si enunciano mediante i teoremi: 



a) Il numero delle intersezioni rispetto ad A di una curva fondamentale 

 ' colla curva generica del sistema residuo uguaglia il grado appartenente alla curva 



fondamentale mutato di segno. 



b) H genere virtuale (rispetto ad A) di una cwrva fondamentale è la dif- 

 ferenza tra le dimensioni virtuali dei sistemi residuo e primitivo aumentata di 

 una unità. 



c) La dimensione virtuale appartenente ad una curva fondamentale (rispetto 

 ad A) è la differenza tra i generi virtuali dei sistemi residuo e primitivo (1). 



La (19) può scriversi un po' diversamente se si introducono le sovrabbondanze 

 s, Si dei sistemi [C] e [Ci] e la valenza v di F. Si ha infatti 



, s — - le — k. Si — 1^1 — ki , le — 1^1 '-\~ V \ 



quindi 



(19)'. . , ^^^s-Si-v+\. 



Nel caso particolare v — 1, questa ci dà: 



d) Il genere virtuale di una curva fondamentale monovalente è la diffe- 

 renza fra le sovrabbondanze (rispetto ad A) dei sistemi primitivo e residuo. 



Ne deduciamo subito l'importante corollario: 



e) Il genere virtuale di una curva fondamentale monovalente non può su- 

 perare la sovrabbondanza del sistema (primitivo) ; se raggiunge questo limite, il 



(1) É utile rammentare che la dimensione virtuale appartenente ad una curva fondamentale (non 



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potendo superare la dimensione effettiva) è ^0, ed uguaglia la differenza tra - m(m4- 3) e il numero 

 delle condizioni che i punti di A (considerati come indipendenti l'uno dall'altro) impongono ad F. 



